Задание 18: уравнения с параметром — метод и разбор примеров

О чём эта подтема

В задании 18 часто встречается формулировка: «найдите все значения параметра, при которых уравнение имеет хотя бы один корень (или ровно один, или все корни на промежутке и т.п.)». Уравнение обычно содержит тригонометрию, логарифмы или иррациональности, а параметр входит в него линейно или почти линейно.

Ключевая идея этой подтемы — не решать уравнение «в лоб» при каждом значении параметра, а выразить параметр как функцию переменной: $a=f(x)$. Тогда вопрос о существовании корня превращается в вопрос о множестве значений функции $f$ на нужном промежутке. Это один из самых надёжных и часто самых быстрых методов в задании 18, если параметр действительно можно «отделить» от переменной.

Что нужно знать

Для решения таких уравнений достаточно владеть следующим набором фактов и приёмов:

• ОДЗ уравнения. Для тригонометрических уравнений — это условия на знаменатель (не равен нулю). Для логарифмических — основание больше нуля и не равно единице, аргумент строго положителен. ОДЗ нужно найти до преобразований и не забыть о нём после.
• Приём выражения параметра через переменную. Если параметр входит в уравнение так, что можно алгебраически перенести все члены и получить $a=f(x)$ (или $k=f(t)$), задача сводится к анализу множества значений $f$.
• Исследование функции на монотонность. Нужно уметь брать производную, определять знак производной на промежутке и делать вывод о возрастании/убывании функции — это стандартный, но обязательный инструмент.
• Понятие множества значений непрерывной функции на промежутке. Если функция непрерывна и монотонна на отрезке $[p;q]$, её множество значений — отрезок между $f(p)$ и $f(q)$ (с учётом открытости/закрытости концов исходного промежутка).
• Учёт исключённых точек ОДЗ. Если в какой-то точке переменной уравнение не определено (например, знаменатель обращается в ноль), соответствующее значение параметра нужно выкинуть из ответа — но только если оно не достигается ни в какой другой точке допустимой области.
• Базовые формулы преобразований: тригонометрические тождества ($\sin^2t+\cos^2t=1$ и т.п.), свойство логарифма $\log_b c = d \iff c=b^d$ при $b>0,\ b\ne1,\ c>0$.

Как решать: метод и алгоритм

Алгоритм для уравнений, где параметр можно выразить через переменную:

1. Найти ОДЗ по переменной (и, если нужно, зафиксировать ограничения на неё независимо от параметра).
2. Преобразовать уравнение так, чтобы получить равенство вида $a=f(x)$ или $k=f(t)$, где в правой части — выражение только от переменной.
3. Переформулировать задачу: уравнение имеет хотя бы один корень на заданном промежутке $\iff$ горизонтальная прямая $y=a$ пересекает график $y=f(x)$ хотя бы в одной точке этого промежутка (с учётом исключённых точек ОДЗ).
4. Исследовать функцию $f$: вычислить производную, найти знак производной, определить промежутки возрастания/убывания, вычислить значения на концах промежутка и в критических точках.
5. Построить множество значений функции на заданном промежутке — обычно это объединение одного-двух отрезков или интервалов.
6. Проверить исключённые точки: если в какой-то точке $x_0$ уравнение не определено, вычислить $f(x_0)$ (по формуле для $f$, даже если сама точка исключена) и убедиться, достигается ли это значение где-то ещё. Если нет — вырезать точку из ответа.
7. Записать ответ в виде объединения промежутков, аккуратно указав открытые и закрытые концы.

Этот метод работает практически всегда, когда параметр входит в уравнение линейно относительно самого параметра (то есть можно «собрать» все члены с $a$ или $k$ в одну сторону и разделить).

Разбор примера

Пример 1

Условие: найти все $k$, при которых уравнение $$\frac{6k-(2-3k)\cos t}{\sin t-\cos t}=2$$ имеет хотя бы одно решение на отрезке $\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]$.

Шаг 1. ОДЗ. Знаменатель не должен обращаться в ноль: $\sin t\ne\cos t$, то есть $t\ne\dfrac{\pi}{4}$ (на рассматриваемом отрезке других решений $\sin t=\cos t$ нет).

Шаг 2. Преобразование. Умножаем обе части на знаменатель: $$6k-(2-3k)\cos t=2(\sin t-\cos t)$$ $$6k-2\cos t+3k\cos t=2\sin t-2\cos t$$ $$6k+3k\cos t=2\sin t$$ $$3k(2+\cos t)=2\sin t$$ Поскольку $2+\cos t>0$ при любом $t$, можно разделить: $$k=\frac{2\sin t}{3(2+\cos t)}.$$

Шаг 3. Переформулировка. Задача сводится к нахождению множества значений функции $$f(t)=\frac{2\sin t}{3(2+\cos t)}$$ на отрезке $t\in\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]$, при этом точку $t=\dfrac{\pi}{4}$ нужно исключить из области определения $f$ (хотя формально функция там вычисляется — просто исходное уравнение в этой точке не имеет смысла).

Шаг 4. Исследование функции. Вычислим производную: $$f'(t)=\frac{6\cos t(2+\cos t)+6\sin^2 t}{9(2+\cos t)^2}=\frac{6(2\cos t+\cos^2t+\sin^2t)}{9(2+\cos t)^2}=\frac{6(2\cos t+1)}{9(2+\cos t)^2}.$$ На отрезке $\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]$ имеем $\cos t\in[0;1]$, значит $2\cos t+1\ge1>0$. То есть $f'(t)>0$ на всём отрезке — функция строго возрастает.

Шаг 5. Значения на концах. $$f(0)=\frac{2\cdot0}{3\cdot3}=0,\qquad f\left(\frac{\pi}{2}\right)=\frac{2\cdot1}{3\cdot2}=\frac13.$$ Так как функция непрерывна и строго возрастает, множество значений на отрезке — это $\left[0;\dfrac13\right]$.

Шаг 6. Исключённая точка. Вычислим $f\left(\dfrac{\pi}{4}\right)$, подставив $\sin\dfrac{\pi}{4}=\cos\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt2}{2}$: $$f\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{2\cdot\frac{\sqrt2}{2}}{3\left(2+\frac{\sqrt2}{2}\right)}=\frac{2\sqrt2}{3(4+\sqrt2)}=\frac{2\sqrt2(4-\sqrt2)}{3\cdot14}=\frac{8\sqrt2-4}{42}=\frac{4\sqrt2-2}{21}.$$ Поскольку $f$ строго монотонна, значение $\dfrac{4\sqrt2-2}{21}$ достигается только в точке $t=\dfrac{\pi}{4}$ — значит, его нужно убрать из ответа.

Шаг 7. Ответ. $$k\in\left[0;\frac{4\sqrt2-2}{21}\right)\cup\left(\frac{4\sqrt2-2}{21};\frac13\right].$$

Пример 2

Условие: найти все $a$, при которых уравнение $$\log_{1-x}(a-x+2)=2$$ имеет хотя бы один корень, принадлежащий промежутку $[-1;1)$.

Шаг 1. ОДЗ. Основание логарифма: $1-x>0$ и $1-x\ne1$, то есть $x<1$ и $x\ne0$. Аргумент: $a-x+2>0$ — это условие проверим позже, после подстановки.

Шаг 2. Преобразование. По определению логарифма: $$a-x+2=(1-x)^2.$$ Раскрываем скобку и выражаем $a$: $$a-x+2=1-2x+x^2 \;\Rightarrow\; a=x^2-x-1.$$ При этом требование $a-x+2>0$ равносильно $(1-x)^2>0$, то есть $x\ne1$ — это уже учтено в ОДЗ. Значит для всех допустимых $x$ (кроме $x=0$) аргумент логарифма автоматически положителен.

Шаг 3. Переформулировка. Задача сводится к нахождению множества значений функции $$g(x)=x^2-x-1$$ на промежутке $x\in[-1;1)$, $x\ne0$.

Шаг 4. Исследование функции. $g(x)=x^2-x-1$ — парабола с вершиной в точке $x=\dfrac12$ (минимум), значение в вершине: $$g\left(\frac12\right)=\frac14-\frac12-1=-\frac54.$$ Функция убывает на $\left[-1;\dfrac12\right]$ и возрастает на $\left[\dfrac12;1\right)$.

Шаг 5. Значения на границах и объединение. $$g(-1)=1+1-1=1,\qquad g\left(\frac12\right)=-\frac54,\qquad \lim_{x\to1^-}g(x)=1-1-1=-1\ (\text{не достигается}).$$ На участке убывания $[-1;\tfrac12]$ значения пробегают отрезок $\left[-\dfrac54;1\right]$. На участке возрастания $[\tfrac12;1)$ значения пробегают $\left[-\dfrac54;-1\right)$. Объединение этих множеств: $\left[-\dfrac54;1\right]$ (второй кусок целиком лежит внутри первого).

Шаг 6. Исключённая точка $x=0$. Вычислим $g(0)=-1$. Проверим, при каких $x$ ещё $g(x)=-1$: $$x^2-x-1=-1 \Rightarrow x^2-x=0 \Rightarrow x=0\ \text{или}\ x=1.$$ На промежутке $[-1;1)$ значение $x=1$ не входит, значит значение $a=-1$ достигается только при $x=0$, которое исключено из ОДЗ. Убираем $a=-1$ из ответа.

Шаг 7. Ответ. $$a\in\left[-\frac54;-1\right)\cup\left(-1;1\right].$$

Типичные ошибки

• Забыть про ОДЗ. Особенно часто теряют условие «знаменатель $\ne0$» в тригонометрических уравнениях и условие «основание логарифма $\ne1$» — а именно оно чаще всего даёт исключённую точку в ответе.
• Не проверить, достигается ли исключённое значение параметра в других точках. Если значение $f(x_0)$ в запрещённой точке $x_0$ совпадает со значением функции где-то ещё в допустимой области, его выкидывать из ответа нельзя — это грубая логическая ошибка.
• Деление на выражение, которое может быть равно нулю. При переходе от $3k(2+\cos t)=2\sin t$ к явному выражению для $k$ важно убедиться, что множитель $(2+\cos t)$ действительно нигде не обращается в ноль на рассматриваемом промежутке.
• Ошибки в определении монотонности «на глаз». Без вычисления производной легко ошибиться со знаком и получить неверные границы множества значений.
• Путаница между «хотя бы один корень» и «единственный корень». Это разные постановки задачи, и ответы для них, как правило, различаются: во втором случае нужно следить, чтобы прямая $y=a$ пересекала график ровно один раз.
• Неверная работа с открытыми и закрытыми концами промежутков. Если исходный промежуток для переменной открытый (например, $[-1;1)$), то и соответствующий конец множества значений функции нужно анализировать отдельно — предельное значение может не достигаться.

На что обратить внимание на экзамене

• Всегда фиксируйте ОДЗ первым шагом решения и возвращайтесь к нему после всех алгебраических преобразований — оно часто «теряется» при упрощении уравнения.
• После выражения параметра через переменную чётко сформулируйте, к какой задаче сводится исходная: «множество значений функции на промежутке» — и решайте именно её.
• Используйте производную для доказательства монотонности, а не интуицию — на экзамене нужна строгая аргументация.
• Отдельно проверяйте значения функции в точках, исключённых из ОДЗ: возможно, именно там прячется точка, которую нужно вырезать из ответа.
• Внимательно следите за открытостью и закрытостью концов промежутков — и в условии, и в финальном ответе; это частая причина потери баллов даже при верном методе.
• Проверяйте финальный ответ подстановкой хотя бы одного значения параметра из каждого полученного промежутка — это помогает выявить арифметические ошибки.