Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Уравнения с параметром

Шаг 1. Область определения. Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Значит уравнение равносильно системе: числитель $=0$ и $\sin x\neq 0$. Точки $x=-\pi,\,0,\,\pi$ на отрезке $[-\pi;\,3\pi/2]$ надо исключить — в них $\sin x=0$.

Шаг 2. Сворачиваем числитель в полный квадрат. $$a^2-2a(\cos x+2)+\cos^2x+4\cos x+3=a^2-2a(\cos x+2)+(\cos x+2)^2-1=(a-\cos x-2)^2-1.$$ Идея — выделить квадрат разности, чтобы уравнение стало простым: $(a-\cos x-2)^2=1$.

Шаг 3. Раскрываем квадрат. $a-\cos x-2=\pm1$, то есть $$a=\cos x+1 \quad\text{или}\quad a=\cos x+3,\qquad \sin x\neq0.$$

Шаг 4. Считаем корни графически. Строим на отрезке $x\in[-\pi;\,3\pi/2]$ графики $a=\cos x+1$ и $a=\cos x+3$ (это косинусоиды, сдвинутые по вертикали), выколов точки, где $x=-\pi,0,\pi$ (там $\sin x=0$). Проводим горизонтальную прямую $a=\text{const}$ и считаем число пересечений с обоими графиками суммарно.

Анализ показывает:

• нет решений при $a\le0$, $a=2$, $a\ge4$;
• два решения при $1<a<2$ и $3<a<4$;
• ровно три решения при $0<a\le1$ и $2<a\le3$ — именно эти значения нам и нужны.