Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Уравнения с параметром

1. Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю: $x^3+2ax^2-4a=0$, $ax^2+x-3a\ne0$.

2. Собираем $a$ в скобки: $x^3+a(2x^2-4)=0$, $a(x^2-3)+x\ne0$. Точки $x=\pm\sqrt2,\pm\sqrt3$ не решают систему ни при каком $a$, поэтому можно поделить на $(2x^2-4)$ и $(x^2-3)$: $$a=\frac{x^3}{4-2x^2},\qquad a\ne\frac{x}{3-x^2}.$$ Почему так делаем: параметр удобно выразить через $x$, чтобы свести задачу к анализу графика функции $a(x)$.

3. Находим, при каких $x$ выражения совпадают: $\dfrac{x^3}{4-2x^2}=\dfrac{x}{3-x^2}$. После приведения к общему знаменателю получаем $x(x^2-1)(x^2-4)=0$, то есть $x=0,\pm1,\pm2$ — эти точки надо исключить из графика функции $a(x)$, так как в них нарушается условие $ax^2+x-3a\ne0$.

4. Строим эскиз графика $a(x)=\dfrac{x^3}{4-2x^2}$. Производная $a'(x)=\dfrac{2x^2(6-x^2)}{(4-2x^2)^2}$ показывает, что функция возрастает при $|x|<\sqrt6$ и убывает при $|x|>\sqrt6$ (кроме асимптот $x=\pm\sqrt2$). Экстремумы: $a(\sqrt6)=-\dfrac{3\sqrt6}{4}$ (максимум справа), $a(-\sqrt6)=\dfrac{3\sqrt6}{4}$ (минимум слева). На бесконечности $a\to\mp\infty$.

5. Считаем значения в исключённых точках: $a(0)=0$, $a(\pm1)=\pm\tfrac12$, $a(2)=-2$, $a(-2)=2$ — эти точки выкалываем на графике.

6. Число корней исходного уравнения равно числу точек пересечения горизонтальной прямой $a=\text{const}$ с полученным графиком (без учёта выколотых точек). Анализируя эскиз, видно, что ровно два пересечения получаются только при значениях $a$, равных экстремумам графика (точки касания) — $a=\pm2$ и $a=\pm\dfrac{3\sqrt6}{4}$, так как именно там прямая касается графика в точке экстремума и пересекает его ещё раз, а не проходит через выколотые точки.

Ответ: $a=\pm2,\ a=\pm\dfrac{3\sqrt6}{4}$.