Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Уравнения с параметром

Введём замену $y = ax - x^2$. Уравнение принимает вид $4y+\dfrac{1}{y}+4=0$. Умножив на $y\neq0$, получаем $4y^2+4y+1=0$, то есть $(2y+1)^2=0$, откуда единственное значение $y=-\dfrac12$.

Замена обратима, поэтому исходное уравнение равносильно уравнению $ax-x^2=-\dfrac12$, то есть $x^2-ax-\dfrac12=0$.

Обозначим $f(x)=x^2-ax-\dfrac12$. Дискриминант этого квадратного уравнения равен $a^2+4\cdot\dfrac12=a^2+2>0$ при любом $a$, значит уравнение $f(x)=0$ всегда имеет два различных действительных корня — задача сводится к тому, чтобы оба этих корня попали в промежуток $[-1;1)$.

Парабола $f(x)=x^2-ax-\dfrac12$ имеет ветви вверх, а $f(0)=-\dfrac12<0$. Это значит, что точка $x=0$ лежит между корнями (один корень отрицателен, другой положителен), то есть корни автоматически разнесены по разные стороны от нуля внутри отрезка $[-1;1)$, если только выполняются условия на концах промежутка:

• $f(-1)\ge 0$ — чтобы левый корень не вышел за левую границу (равенство допускается, так как $-1$ включена в промежуток);
• $f(1)>0$ — чтобы правый корень не достиг или не превысил правую границу (равенство недопустимо, так как $1$ не включена).

Считаем: $f(-1)=1+a-\dfrac12=a+\dfrac12\ge0 \Rightarrow a\ge-\dfrac12$; $f(1)=1-a-\dfrac12=\dfrac12-a>0 \Rightarrow a<\dfrac12$.

Объединяя условия, получаем $-0,5\le a<0,5$.