Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Уравнения с параметром

Разложим числитель и знаменатель по формулам разности квадратов: $$9x^2-a^2=(3x-a)(3x+a),$$ $$x^2+8x+16-a^2=(x+4)^2-a^2=(x+4-a)(x+4+a).$$

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель — нет. Это даёт корни $x=\dfrac{a}{3}$ и $x=-\dfrac{a}{3}$, при условии, что они не совпадают с точками, где знаменатель обращается в ноль, то есть $x\neq a-4$ и $x\neq -a-4$.

Если $a=0$, оба кандидата совпадают ($x=0$), и уравнение даёт только один корень — такое $a$ не подходит.

При $a\neq 0$ корни $x_1=\dfrac{a}{3}$ и $x_2=-\dfrac{a}{3}$ различны, и нужно исключить те значения $a$, при которых один из них случайно совпадает с нулём знаменателя.

Проверяем совпадения:

1. $\dfrac{a}{3}=a-4 \Rightarrow a=6$;
2. $\dfrac{a}{3}=-a-4 \Rightarrow a=-3$;
3. $-\dfrac{a}{3}=a-4 \Rightarrow a=3$;
4. $-\dfrac{a}{3}=-a-4 \Rightarrow a=-6$.

В этих четырёх точках один из корней 'выпадает' (обращает знаменатель в нуль), и остаётся лишь один корень, поэтому эти значения тоже исключаем.

Итак, уравнение имеет ровно два различных корня при всех $a$, кроме $a=0,\pm3,\pm6$. Записываем это как объединение интервалов: $$a\in(-\infty;-6)\cup(-6;-3)\cup(-3;0)\cup(0;3)\cup(3;6)\cup(6;+\infty).$$