ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 18Уравнения с параметром

Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Уравнения с параметром

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 18Уравнения с параметромРазложение на множители

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение $16x в квадрате левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка = левая круглая скобка 2x в квадрате минус a правая круглая скобка левая круглая скобка a плюс 2x в квадрате правая круглая скобка$ имеет ровно два корня.

В подтеме 48 задач

Разбор

Главная идея: Свести уравнение к разности квадратов, получить совокупность двух парабол-функций от

x

с параметром

a

как ординатой, и исследовать число пересечений горизонтальной прямой

y=a

с их объединением.

Раскроем скобки справа: $(2x^2-a)(a+2x^2)=(2x^2)^2-a^2=4x^4-a^2$ . Тогда уравнение $16x^2(x-1)=4x^4-a^2$ равносильно $a^2=4x^4-16x^3+16x^2$ .
Вынесем общий множитель: $a^2=4x^2(x^2-4x+4)=4x^2(x-2)^2=[2x(x-2)]^2$ . Значит $a=\pm 2x(x-2)$ , то есть уравнение равносильно совокупности $a=2x^2-4x,\qquad a=-2x^2+4x.$
Выделим полный квадрат, чтобы увидеть параболы: $a=2(x-1)^2-2,\qquad a=-2(x-1)^2+2.$ Первая — парабола ветвями вверх с вершиной $(1,-2)$ , вторая — та же по форме, но ветвями вниз, с вершиной $(1,2)$ (это отражение первой относительно оси $Ox$ ). Обе пересекают ось $Ox$ в точках $x=0$ и $x=2$ , значит они пересекаются друг с другом именно в точках $(0,0)$ и $(2,0)$ , то есть при $a=0$ .
Число корней исходного уравнения при фиксированном $a$ равно числу точек пересечения горизонтальной прямой $y=a$ с объединением этих двух парабол (с учётом совпадающих корней).

Если $a<-2$ : прямая ниже вершины первой параболы — с ней пересечений нет, а со второй (вершина $(1,2)$ , ветви вниз) — 2 точки. Итого 2 корня.
Если $-2<a<0$ или $0<a<2$ : прямая пересекает каждую параболу по 2 точки, и эти четвёрки не совпадают (совпадение возможно только при $a=0$ ) — итого 4 корня.
При $a=0$ : обе параболы дают одни и те же точки $x=0,2$ — итого 2 различных корня.
При $a=-2$ : с первой параболой одна точка ( $x=1$ ), со второй — 2 точки, итого 3 корня.
При $a=2$ : с первой параболой 2 точки, со второй — одна ( $x=1$ ), итого 3 корня.
Если $a>2$ : с первой параболой 2 точки, со второй — ни одной, итого 2 корня.

Ровно два корня получаются при $a<-2$ , при $a=0$ и при $a>2$ .

Типичные ошибки

Не заметить, что $(2x^2-a)(a+2x^2)$ — это разность квадратов, и раскрыть скобки напрямую, усложняя уравнение.
Забыть учесть совпадение корней двух парабол при $a=0$ , что уменьшает число различных решений с 4 до 2.
Ошибиться в анализе краевых значений $a=-2$ и $a=2$ , посчитав, что там тоже ровно два корня, хотя на самом деле их три.

Непонятно?

Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Уравнения с параметром

Типичные ошибки

Похожие задачи