ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 18Уравнения с параметром

Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Уравнения с параметром

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 18Уравнения с параметромКомбинация «кривых»

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение

дробь: числитель: 9 левая круглая скобка a минус x правая круглая скобка левая круглая скобка a плюс x правая круглая скобка , знаменатель: десятичный логарифм левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка конец дроби = дробь: числитель: x в кубе левая круглая скобка x минус 6 правая круглая скобка , знаменатель: десятичный логарифм левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка конец дроби

имеет ровно 2 корня.

В подтеме 48 задач
Разбор
Главная идея: Свести уравнение (с учётом ОДЗ) к алгебраическому 9a2=(x2−3x)29a^2=(x^2-3x)^2, ввести b=3ab=3a и графически подсчитать число корней как число пересечений горизонтали b=constb=\text{const} с двумя параболами b=±x(x−3)b=\pm x(x-3) на области x>−2, x≠−1x>-2,\ x\ne-1.

Область определения: x+2>0,  x+2≠1x+2>0,\; x+2\neq 1, то есть x>−2, x≠−1x>-2,\ x\neq-1 (там знаменатель lg⁡(x+2)\lg(x+2) существует и не равен нулю). При таких xx можно приравнять числители:

9(a−x)(a+x)=x3(x−6) ⇒ 9a2−9x2=x4−6x3.9(a-x)(a+x)=x^3(x-6)\ \Rightarrow\ 9a^2-9x^2=x^4-6x^3.

Переносим и группируем правую часть как полный квадрат: 9a2=x4−6x3+9x2=(x2−3x)2.9a^2=x^4-6x^3+9x^2=(x^2-3x)^2.

Отсюда 3a=±(x2−3x)3a=\pm(x^2-3x), то есть уравнение равносильно совокупности 3a=x(x−3)или3a=−x(x−3),x>−2, x≠−1.3a=x(x-3)\quad\text{или}\quad 3a=-x(x-3),\qquad x>-2,\ x\neq-1.

Вводим b=3ab=3a и рассматриваем в системе координат xObxOb два графика: b=x2−3xb=x^2-3x (парабола ветвями вверх, вершина (1,5;−2,25)(1{,}5;-2{,}25), нули x=0,3x=0,3) и b=−x2+3xb=-x^2+3x (парабола ветвями вниз, вершина (1,5;2,25)(1{,}5;2{,}25), нули x=0,3x=0,3). Ограничение x>−2, x≠−1x>-2,\ x\neq-1 вырезает точку x=−1x=-1 и делает граничной точку x=−2x=-2 (не входит).

Значения bb в этих точках: при x=−2x=-2 обе параболы дают b=10b=10 и b=−10b=-10; при x=−1x=-1 — b=4b=4 и b=−4b=-4. Эти значения — «переломные»: при переходе через них меняется количество пересечений горизонтальной прямой b=constb=\text{const} с графиками (за счёт исключённой точки и границы области).

Подсчитывая пересечения горизонтали с обеими параболами на допустимой области, получаем, что ровно 2 корня уравнение имеет при b∈(−10;−4)∪(−4;−2,25)∪{0}∪(2,25;4)∪(4;10).b\in(-10;-4)\cup(-4;-2{,}25)\cup\{0\}\cup(2{,}25;4)\cup(4;10).

Возвращаемся к a=b/3a=b/3: a∈(−103;−43)∪(−43;−34)∪{0}∪(34;43)∪(43;103).a\in\left(-\dfrac{10}{3};-\dfrac{4}{3}\right)\cup\left(-\dfrac{4}{3};-\dfrac{3}{4}\right)\cup\{0\}\cup\left(\dfrac{3}{4};\dfrac{4}{3}\right)\cup\left(\dfrac{4}{3};\dfrac{10}{3}\right).

Типичные ошибки

  • Забывают учесть ограничения ОДЗ (x>−2x>-2 и x≠−1x\neq-1), из-за чего теряют «переломные» значения параметра, где число корней меняется.
  • Не замечают, что правая часть после переноса образует полный квадрат (x2−3x)2(x^2-3x)^2, и пытаются решать уравнение напрямую как биквадратное без замены.
  • При переходе к графическому методу путают, какие значения bb соответствуют границе интервала (включены/исключены), что приводит к ошибкам в открытости/замкнутости промежутков для aa.
Непонятно?

Похожие задачи