Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Уравнения с параметром

Область определения исходного уравнения — все $x\neq0$. Умножим уравнение $x-3+\dfrac{1}{x^2}=ax$ на $x^2$ и перегруппируем, чтобы выделить параметр в явном виде: $$a=\dfrac{1}{x^3}-\dfrac{3}{x}+1.$$

Введём замену $t=\dfrac{1}{x}$, $t\neq0$. Так как функция $t=1/x$ на области $x\neq0$ взаимно однозначна (каждому $x$ соответствует ровно одно $t$, и обратно), число решений исходного уравнения по $x$ равно числу решений уравнения $$a=t^3-3t+1=f(t)$$ по $t$, при условии $t\neq0$.

Исследуем $f(t)=t^3-3t+1$. Она непрерывна на $\mathbb{R}$, $f(t)\to-\infty$ при $t\to-\infty$ и $f(t)\to+\infty$ при $t\to+\infty$.

Производная $f'(t)=3t^2-3=3(t-1)(t+1)$ равна нулю при $t=\pm1$. При $t<-1$ функция растёт, на $(-1,1)$ убывает, при $t>1$ снова растёт — значит, $t=-1$ — точка локального максимума, $t=1$ — точка локального минимума.

Вычисляем экстремумы: $f(-1)=-1+3+1=3$ (максимум), $f(1)=1-3+1=-1$ (минимум).

Поскольку функция непрерывна, гладко возрастает-убывает-возрастает, уравнение $f(t)=a$ имеет ровно три различных корня тогда и только тогда, когда $a$ лежит строго между значением минимума и максимума: $-1<a<3$ (при равенстве $a=3$ или $a=-1$ два корня совпадают с экстремумом, корней становится два).

Но нужно учесть ограничение $t\neq0$. Проверим, при каком $a$ один из корней уравнения $f(t)=a$ равен нулю: $f(0)=0-0+1=1$. Значит, при $a=1$ среди трёх корней уравнения $f(t)=a$ есть корень $t=0$, который не подходит (не даёт $x$), и тогда для исходного уравнения останется только два корня.

Поэтому из интервала $(-1,3)$ нужно исключить точку $a=1$. Итог: $a\in(-1;1)\cup(1;3)$.