Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Уравнения с параметром

Разложим числитель и знаменатель на множители по формулам сокращённого умножения: $4x^2-a^2=(2x-a)(2x+a)$, $x^2+6x+9-a^2=(x+3)^2-a^2=(x+3-a)(x+3+a)$.

Уравнение $\dfrac{(2x-a)(2x+a)}{(x+3-a)(x+3+a)}=0$ равносильно тому, что числитель равен нулю, а знаменатель — нет: $$x=\dfrac{a}{2}\ \text{или}\ x=-\dfrac{a}{2},\qquad x\ne a-3,\ x\ne -a-3.$$

На плоскости $xOa$ первым двум условиям соответствуют прямые $a=2x$ и $a=-2x$ — это множество всех пар $(x,a)$, дающих корень. Из этого множества нужно выкинуть точки, где $x=a-3$ или $x=-a-3$ (там знаменатель обращается в 0).

Найдём эти «запрещённые» точки пересечения:

При $a\ne0$ прямые $a=2x$ и $a=-2x$ дают два разных значения $x=\pm a/2$ — то есть потенциально два корня. Но если $a$ равно одному из чисел $\pm2,\pm6$, один из этих корней попадает в «запрещённую» точку и пропадает — тогда остаётся только один корень.

При $a=0$ обе прямые сливаются в одну точку $x=0$ — тоже только один корень.

Значит, ровно два корня будет при всех $a$, кроме $a=0,\pm2,\pm6$, то есть на объединении интервалов, указанных в ответе.