Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Уравнения с параметром

Уравнение равносильно системе $2a-x^2-3x=0,\; x+a^2\neq0$, то есть $a=\dfrac{x^2+3x}{2}$ при $x\neq -a^2$.

Рассмотрим в системе координат $xOa$ параболу $a=\dfrac{x^2+3x}{2}$ — она получена из квадратного уравнения $x^2+3x-2a=0$ относительно $x$. Число корней этого уравнения по $x$ равно числу точек пересечения горизонтальной прямой $a=\text{const}$ с параболой: два различных корня при $a>-9/8$ (вершина параболы в точке $(-3/2;-9/8)$), один корень при $a=-9/8$, нет корней при $a<-9/8$.

Теперь учтём запрет $x=-a^2$. Найдём, при каких $a$ этот "запрещённый" $x$ совпадает с корнем параболы: подставляя $x=-a^2$ в $a=\dfrac{x^2+3x}{2}$, получаем $a^4-3a^2-2a=0$, то есть $a(a+1)^2(a-2)=0$, откуда $a=-1,\,0,\,2$.

При этих трёх значениях один из двух корней квадратного уравнения совпадает с запрещённой точкой и "выпадает", поэтому остаётся только один корень — условие "ровно два корня" не выполняется.

Таким образом, ровно два различных корня получаются при всех $a>-9/8$, кроме точек $a=-1,0,2$: $a\in\left(-\dfrac{9}{8};-1\right)\cup(-1;0)\cup(0;2)\cup(2;+\infty)$.