Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Уравнения с параметром

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Раскладываем знаменатель на множители: $5x^2-6ax+a^2=(5x-a)(x-a)$. Значит исходное уравнение равносильно системе $$\begin{cases}x^2-4x+a=0\\ (5x-a)(x-a)\neq0\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}a=-x^2+4x\\ a\neq x,\ a\neq5x.\end{cases}$$ Первое уравнение задаёт в координатах $xOa$ параболу $a=-x^2+4x$ с вершиной в точке $(2;4)$, ветви направлены вниз. При каждом $a<4$ горизонтальная прямая пересекает параболу в двух точках (по симметрии относительно $x=2$), при $a=4$ — в одной, при $a>4$ — не пересекает.

Теперь нужно убрать точки, где выполняется $a=x$ или $a=5x$ — они делают знаменатель нулём. Найдём эти точки пересечения с параболой.

Пересечение с $a=x$: $x=-x^2+4x\Rightarrow x^2-3x=0\Rightarrow x=0$ или $x=3$, что даёт $a=0$ и $a=3$.

Пересечение с $a=5x$: $5x=-x^2+4x\Rightarrow x^2+x=0\Rightarrow x=0$ или $x=-1$, что даёт $a=0$ и $a=-5$.

Эти значения $a=-5,0,3,4$ — критические. На каждом промежутке между ними число оставшихся (не выколотых) корней постоянно. Проверка на границах показывает: при $a=0$ и $a=3$ теряется один из двух корней (остаётся одно решение), при $a=-5$ и $a=4$ — тоже одно решение (или его отсутствие при $a>4$). Значит внутри промежутков $(-\infty;-5)$, $(-5;0)$, $(0;3)$, $(3;4)$ оба корня параболы остаются рабочими — уравнение имеет ровно два решения.