Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Уравнения с параметром

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Получаем систему $$x^2-4x+a=0,\qquad x^2-6ax+5a^2\neq0.$$

Из первого уравнения выразим параметр: $a=-x^2+4x$ — это парабола в координатах $(x;a)$ с вершиной в точке $(2;4)$, ветви вниз.

Второе выражение разложим на множители: $x^2-6ax+5a^2=(x-5a)(x-a)$, значит условие $\neq0$ равносильно $a\neq x$ и $a\neq \dfrac{x}{5}$ — это две прямые в тех же координатах.

Таким образом решения исходного уравнения — это точки параболы $a=-x^2+4x$, из которых выколоты точки пересечения с прямыми $a=x$ и $a=x/5$.

Найдём точки пересечения. С прямой $a=x$: $-x^2+4x=x\Rightarrow x^2-3x=0\Rightarrow x=0$ или $x=3$, что даёт $a=0$ и $a=3$. С прямой $a=x/5$: $-x^2+4x=x/5\Rightarrow -5x^2+19x=0\Rightarrow x=0$ или $x=19/5$, что даёт $a=0$ и $a=19/25$.

Для каждого фиксированного $a<4$ парабола даёт два различных значения $x$ (два корня уравнения $x^2-4x+a=0$, так как дискриминант $16-4a>0$). При $a=4$ корень один (кратный), значит два различных решения при $a=4$ невозможны.

Проверим, что происходит в найденных особых точках: при $a=0$ корни $x=0$ и $x=4$, но точка $x=0$ выколота (совпадает с пересечением обеих прямых) — остаётся одно решение. При $a=3$ корни $x=1$ и $x=3$, точка $x=3$ выколота — остаётся одно решение. При $a=19/25$ корни $x=1/5$ и $x=19/5$, точка $x=19/5$ выколота — остаётся одно решение. Значит эти три значения не подходят.

Для всех остальных $a<4$ (кроме $a=0,\;19/25,\;3$) оба корня не совпадают с выколотыми точками, и уравнение имеет ровно два различных решения.

Итог: искомые значения параметра — все $a<4$, кроме $a=0$, $a=19/25$, $a=3$, то есть объединение интервалов.