Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Уравнения с параметром

Шаг 1. Замена переменной. Обозначим $t=\dfrac{1}{2^{x}}=2^{-x}$. Так как показательная функция монотонна, каждому $t>0$ соответствует ровно одно $x=-\log_2 t$, а значений $t\le 0$ вообще не бывает. Значит число решений исходного уравнения по $x$ равно числу положительных корней $t$ полученного уравнения.

Шаг 2. Приводим уравнение к полиному по $t$. Все степени $16^x,8^x,4^x,2^x$ выражаются через $t$: $16^{-x}=t^4,\,8^{-x}=t^3,\,4^{-x}=t^2,\,2^{-x}=t$. После умножения получаем $$2t^{4}-t^{3}-(a+8)t^{2}+(4-2a)t-a^{2}+4a+5=0.$$

Шаг 3. Рассматриваем как квадратное уравнение относительно $a$. Перегруппировав слагаемые по степеням $a$: $$a^{2}-(4-2t-t^{2})a+(-5-4t+8t^{2}+t^{3}-2t^{4})=0.$$ Это удобно, так как дискриминант такого уравнения красиво сворачивается: $$D=(4-2t-t^{2})^{2}-4(-5-4t+8t^{2}+t^{3}-2t^{4})=9(t^{2}-2)^{2}.$$ Отсюда $\sqrt{D}=3|t^{2}-2|$, и корни $$a=t^{2}-t-1,\qquad a=-2t^{2}-t+5.$$ Значит исходное уравнение при фиксированном $t>0$ выполняется тогда и только тогда, когда $a$ равно одному из этих двух выражений — то есть точка $(t,a)$ лежит на одной из двух параболических кривых в системе координат $tOa$.

Шаг 4. Изучаем эти кривые при $t>0$.

• $a_1(t)=t^2-t-1$ — параболa с вершиной $(1/2,-5/4)$, при $t\to0^+$ стремится к $-1$ (не достигая), убывает до $-5/4$, затем возрастает до $+\infty$.
• $a_2(t)=-2t^2-t+5$ — при $t>0$ строго убывает от значения $5$ (при $t=0$, не достигается) до $-\infty$, то есть является биекцией $(0;\infty)\to(-\infty;5)$.

Они пересекаются, когда $t^2-2=0$, то есть при $t=\sqrt2$, и там $a=1-\sqrt2$.

Шаг 5. Считаем число положительных корней $t$ для каждого значения $a$. Нужно, чтобы суммарное число различных $t>0$, лежащих на объединении этих двух кривых, равнялось ровно 2 (с учётом того, что при $a=1-\sqrt2$ обе кривые дают один и тот же $t=\sqrt2$, а не два разных корня).

Анализируя горизонтальные сечения:

• при $a=-5/4$ кривая $a_1$ даёт один корень (вершина), кривая $a_2$ — один корень (так как $a<5$) — итого 2;
• при $-5/4<a<-1$ кривая $a_1$ даёт 2 корня плюс ещё 1 от $a_2$ — итого 3 (не подходит);
• при $-1\le a<1-\sqrt2$ кривая $a_1$ даёт 1 корень, $a_2$ — 1 корень, пересечения нет — итого 2;
• при $a=1-\sqrt2$ оба уравнения дают один и тот же $t=\sqrt2$ — итого 1 (не подходит);
• при $1-\sqrt2<a<5$ снова по одному корню от каждой кривой — итого 2;
• при $a\ge5$ кривая $a_2$ решений не даёт, остаётся только 1 от $a_1$ — не подходит.

Шаг 6. Итог. Ровно два положительных корня получаются при $$a=-\dfrac54,\quad -1\le a<1-\sqrt2,\quad 1-\sqrt2<a<5.$$