Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Уравнения с параметром

Перепишем уравнение как $x(3\sin x-2\cos x-a)=0$. Отсюда $x=0$ — корень при любом $a$ (и он лежит на отрезке). Значит, всего два решения будет тогда и только тогда, когда уравнение $3\sin x-2\cos x=a$ имеет на $[-\pi/3;\pi/4]$ ровно один корень, причём этот корень не должен совпадать с $x=0$.

Преобразуем левую часть по формуле вспомогательного угла: $3\sin x-2\cos x=\sqrt{13}\sin(x-\alpha)$, где $\sin\alpha=\dfrac{2}{\sqrt{13}},\ \cos\alpha=\dfrac{3}{\sqrt{13}}$ ($\alpha=\arctan\frac23$).

Рассмотрим $g(x)=\sqrt{13}\sin(x-\alpha)$ на отрезке. Аргумент $x-\alpha$ пробегает значения от $-\pi/3-\alpha$ (около $-93{,}7^\circ$) до $\pi/4-\alpha$ (около $11{,}3^\circ$), проходя через точку минимума синуса $-90^\circ$. Значит, $g$ сначала убывает (короткий участок) до минимума $-\sqrt{13}$, затем возрастает.

Вычислим значения на концах: $g(-\pi/3)=-\dfrac{3\sqrt3+2}{2}$, $g(\pi/4)=\dfrac{\sqrt2}{2}$. Так как $-\dfrac{3\sqrt3+2}{2}>-\sqrt{13}$, участок убывания короче, чем возрастания.

Горизонтальная прямая $y=a$ пересекает график ровно в одной точке, если $a=-\sqrt{13}$ (касание в минимуме) или если $a$ попадает только на возрастающую ветвь: $-\dfrac{3\sqrt3+2}{2}<a\le\dfrac{\sqrt2}{2}$.

Проверим, не совпадает ли этот единственный корень с $x=0$: $g(0)=-2$. При $a=-2$ найденный корень и есть $x=0$, то есть фактически решение только одно, а не два. Поэтому значение $a=-2$ нужно исключить, разбив промежуток на два.

Итог: $a=-\sqrt{13}$, $-\dfrac{3\sqrt3+2}{2}<a<-2$, $-2<a\le\dfrac{\sqrt2}{2}$.