Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Уравнения с параметром

1. Обозначим $y=\operatorname{ctg}x+3$. Тогда исходное уравнение принимает вид $$y^{2}-(a^{2}+2a+3)y+a^{2}(2a+3)=0.$$ Это квадратное относительно $y$ уравнение, и его корни легко угадать: $y=a^{2}$ и $y=2a+3$ (проверяется по теореме Виета: сумма $a^{2}+2a+3$, произведение $a^{2}(2a+3)$).

2. Значит уравнение равносильно совокупности $$\operatorname{ctg}x+3=a^{2}\quad\text{или}\quad \operatorname{ctg}x+3=2a+3,$$ т.е. $$\operatorname{ctg}x=a^{2}-3\quad(1)\qquad \operatorname{ctg}x=2a\quad(2).$$

3. Исследуем, сколько корней имеет $\operatorname{ctg}x=t$ на $\left(-\dfrac{\pi}{2};\pi\right)$. Функция $\operatorname{ctg}x$ на $(0;\pi)$ убывает от $+\infty$ до $-\infty$, значит любое $t$ даёт ровно 1 корень здесь. На $(-\pi/2;0)$ она убывает от $0$ (не включая, т.к. $x=-\pi/2$ не входит) до $-\infty$, значит для $t<0$ есть ещё один корень, а для $t\ge0$ — ни одного. Итого: при $t<0$ — 2 корня, при $t\ge0$ — 1 корень.

4. Пусть $t_1=a^{2}-3$, $t_2=2a$.

— Если $t_1=t_2$, уравнения (1),(2) совпадают, и число решений равно числу решений при этом $t$. Нужно 2 решения, значит $t=2a<0$. Из $a^{2}-2a-3=0$ получаем $a=-1$ или $a=3$; условию $a<0$ удовлетворяет только $a=-1$.

— Если $t_1\ne t_2$, суммарное число решений равно сумме решений (1) и (2). Чтобы получить 2, каждое должно дать ровно по 1, то есть $t_1\ge0$ и $t_2\ge0$: $a^{2}\ge3\ (a\le-\sqrt3$ или $a\ge\sqrt3)$ и $a\ge0$. Совместно — $a\ge\sqrt3$. Исключаем точку $a=3$, где $t_1=t_2$ (уже учтена отдельно, там решений было бы только 1).

5. Объединяя случаи, получаем $a=-1$ и $a\in[\sqrt3;3)\cup(3;+\infty)$.