ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 18Уравнения с параметром

Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Уравнения с параметром

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 18

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение

ax в степени 4 минус 2x в кубе плюс левая круглая скобка a в кубе минус a правая круглая скобка x в квадрате минус левая круглая скобка 2a в квадрате минус 2 правая круглая скобка x = минус ax в кубе плюс 2x в квадрате минус левая круглая скобка a в кубе минус a правая круглая скобка x плюс 2a в квадрате минус 2

имеет ровно 2 решения.

В подтеме 48 задач
Разбор
Главная идея: Разложить уравнение на множители (x+1)(ax−2)(x2+a2−1)=0(x+1)(ax-2)(x^2+a^2-1)=0 и перейти к графической интерпретации в плоскости xOaxOa, где решения — точки пересечения горизонтали a=consta=\text{const} с прямой, гиперболой и окружностью, посчитав их совпадения.

  1. Перенесём все члены в левую часть. Уравнение принимает вид x⋅P(x)+P(x)=0x\cdot P(x)+P(x)=0, где P(x)=ax3−2x2+(a3−a)x−2a2+2P(x)=ax^3-2x^2+(a^3-a)x-2a^2+2. Это удобно, потому что общий множитель P(x)P(x) сразу выносится: (x+1)P(x)=0(x+1)P(x)=0.

  2. Разложим P(x)P(x): P(x)=x2(ax−2)+(a2−1)(ax−2)=(ax−2)(x2+a2−1)P(x)=x^2(ax-2)+(a^2-1)(ax-2)=(ax-2)(x^2+a^2-1). Проверка раскрытием подтверждает равенство.

  3. Тогда исходное уравнение равносильно (x+1)(ax−2)(x2+a2−1)=0(x+1)(ax-2)(x^2+a^2-1)=0, то есть решения задаются тремя условиями: x=−1x=-1; ax−2=0ax-2=0; x2+a2=1x^2+a^2=1.

  4. Удобно перейти к плоскости xOaxOa: первое условие — вертикальная прямая x=−1x=-1; второе (при a≠0a\ne0) — гипербола a=2/xa=2/x; третье — окружность радиуса 1 с центром в начале координат. Для фиксированного aa число решений уравнения равно числу различных абсцисс точек пересечения горизонтальной прямой a=consta=\text{const} с этими тремя линиями.

  5. Находим точки совпадения линий, чтобы не считать решения дважды: прямая и гипербола пересекаются при x=−1⇒a=2/(−1)=−2x=-1\Rightarrow a=2/(-1)=-2; прямая и окружность — при a=0a=0 (тогда x=−1x=-1 и x=1x=1); гипербола и окружность не пересекаются, так как уравнение 4/a2+a2=14/a^2+a^2=1 не имеет действительных решений.

  6. Считаем количество различных xx для каждого промежутка aa:

  • при ∣a∣>1|a|>1, a≠−2a\ne-2: прямая даёт x=−1x=-1, гипербола — x=2/ax=2/a, окружности нет → 2 решения;
  • при a=−2a=-2: прямая и гипербола совпадают → 1 решение;
  • при a=±1a=\pm1: окружность даёт одну точку x=0x=0, плюс −1-1 и 2/a2/a → 3 решения;
  • при 0<∣a∣<10<|a|<1: окружность даёт две точки, прямая и гипербола — свои, все четыре различны → 4 решения;
  • при a=0a=0: гиперболы нет, окружность даёт x=±1x=\pm1, прямая — x=−1x=-1 (совпадает) → 2 решения.

  1. Отбираем промежутки, где ровно 2 решения: a>1a>1; a<−1a<-1, a≠−2a\ne-2 (то есть (−∞;−2)∪(−2;−1)(-\infty;-2)\cup(-2;-1)); и отдельная точка a=0a=0.

  2. Объединяя, получаем ответ.

Типичные ошибки

  • Неверное разложение P(x)P(x) на множители, потерянные слагаемые a2−1a^2-1
  • Не учтены точки совпадения графиков (при a=−2a=-2 и a=0a=0), что приводит к неправильному подсчёту числа решений
  • Забыли исключить случай a=0a=0 из уравнения гиперболы a=2/xa=2/x, где оно не определено
Непонятно?

Похожие задачи