ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 18Уравнения с параметром

Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Уравнения с параметром

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 18Уравнения с параметромВведение замены

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение

16 в степени x минус 3 умножить на 2 в степени левая круглая скобка 3x плюс 1 правая круглая скобка плюс 2 умножить на 4 в степени левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка минус левая круглая скобка 4 минус 4a правая круглая скобка умножить на 2 в степени левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка минус a в квадрате плюс 2a минус 1 = 0

имеет три различных корня.

В подтеме 48 задач
Разбор
Главная идея: Замена t=2xt = 2^x преобразует показательное уравнение в полиномиальное; последующая факторизация сводит задачу к анализу пересечений двух парабол, где трёхкратность решений по xx соответствует наличию трёх положительных корней по tt.

Шаг 1. Замена переменной

Обозначим t=2xt = 2^x, где t>0t > 0. Каждому положительному tt соответствует ровно одно значение xx. Исходное уравнение преобразуется в алгебраическое: t4−6t3+8t2−2(1−a)t−(1−a)2=0t^4 - 6t^3 + 8t^2 - 2(1-a)t - (1-a)^2 = 0

Исходное уравнение имеет три различных корня тогда и только тогда, когда это уравнение в tt имеет три положительных корня.

Шаг 2. Факторизация

Преобразуем уравнение, выделив полный квадрат: t4−6t3+9t2−t2−2(1−a)t−(1−a)2=0t^4 - 6t^3 + 9t^2 - t^2 - 2(1-a)t - (1-a)^2 = 0 (t2−3t)2−[t2+2(1−a)t+(1−a)2]=0(t^2 - 3t)^2 - [t^2 + 2(1-a)t + (1-a)^2] = 0 (t2−3t)2−[t+(1−a)]2=0(t^2 - 3t)^2 - [t + (1-a)]^2 = 0

Это разность квадратов: [t2−3t−t−(1−a)][t2−3t+t+(1−a)]=0[t^2 - 3t - t - (1-a)][t^2 - 3t + t + (1-a)] = 0 [t2−4t−1+a][t2−2t+1−a]=0[t^2 - 4t - 1 + a][t^2 - 2t + 1 - a] = 0

Шаг 3. Совокупность двух квадратных уравнений

Получаем:

  • t2−4t+(a−1)=0t^2 - 4t + (a - 1) = 0 или
  • t2−2t+(1−a)=0t^2 - 2t + (1 - a) = 0

Переписав через aa:

  • a=−t2+4t+1a = -t^2 + 4t + 1 (парабола ветвями вниз, вершина (2;5)(2; 5))
  • a=t2−2t+1=(t−1)2a = t^2 - 2t + 1 = (t-1)^2 (парабола ветвями вверх, вершина (1;0)(1; 0))

Шаг 4. Графический анализ при t>0t > 0

Графики пересекаются при t=0t = 0 (точка (0;1)(0; 1)) и t=3t = 3 (точка (3;4)(3; 4)). Для трёх положительных корней нужно, чтобы горизонтальная линия y=ay = a пересекала обе кривые в трёх точках общей области. Это происходит при:

  • 0<a<10 < a < 1 (две точки на второй параболе в (0;1)(0; 1), одна на первой)
  • 1<a<41 < a < 4 (по одной точке на каждой параболе в нужных областях)
  • 4<a<54 < a < 5 (одна точка на первой, две на второй)

Типичные ошибки

  • Забыть, что t=2x>0t = 2^x > 0 — забракованы отрицательные и нулевые корни по tt
  • Ошибиться в факторизации или не заметить разность квадратов (t2−3t)2−(t+1−a)2(t^2-3t)^2 - (t+1-a)^2
  • Неправильно определить интервалы по параметру — нужно тщательно отследить, где каждая парабола даёт положительные корни
Непонятно?

Похожие задачи