Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Уравнения с параметром

1. Область определения исходного уравнения: $x>0$ (из $\log_3 x$) и $x\neq 6$ (из $\log_{1/3}|x-6|$).

2. Введём замену $b=\log_9 a$. Заметим, что $\log_{1/3}|x-6|=-\log_3|x-6|$, поэтому левая часть уравнения превращается в сумму: $$\log_3 x-\log_{1/3}|x-6|=\log_3 x+\log_3|x-6|=\log_3\big(x|x-6|\big).$$

3. Правая часть: $\log_{\sqrt3} b=\dfrac{\log_3 b}{\log_3\sqrt3}=2\log_3 b$ (при $b>0$, иначе логарифм не определён).

4. Получаем равносильную систему: $$\begin{cases} x|x-6|=b^2,\\ b>0,\ x>0,\ x\neq6.\end{cases}$$

5. Рассмотрим функцию $f(x)=x|x-6|$. На $(0;6)$ это парабола $f(x)=6x-x^2$ с вершиной в точке $x=3$, $f(3)=9$, и $f\to0$ при $x\to0^+$ и $x\to6^-$. На $x>6$ функция $f(x)=x(x-6)$ строго возрастает от $0$ (не достигается, так как $x\neq6$) до $+\infty$.

6. Для горизонтальной прямой $y=c=b^2$ считаем число пересечений с графиком:

• при $0<c<9$ — две точки на $(0;6)$ и одна на $(6;+\infty)$ — всего 3 корня;
• при $c=9$ — 1+1=2 корня;
• при $c>9$ — 0+1=1 корень.

7. Значит, три корня получаются ровно при $0<b^2<9$, а с учётом $b>0$ это равносильно $0<b<3$.

8. Возвращаемся к $a$: $b=\log_9 a$, значит $$0<\log_9 a<3 \iff 9^0<a<9^3 \iff 1<a<729.$$

Таким образом, уравнение имеет три различных корня при $a\in(1;729)$.