Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Уравнения с параметром

Рассмотрим функцию $f(x)=(x^2-6)(3-2x)$ и уравнение $f(x)=a$.

Раскроем f(x) $f(x)=(x^2-6)(3-2x)=-2x^3+3x^2+12x-18$ — это кубический многочлен с коэффициентом $-2$ при старшей степени, значит при $x\to-\infty$ $f(x)\to+\infty$, а при $x\to+\infty$ $f(x)\to-\infty$.

Ищем производную, чтобы понять монотонность $f'(x)=-6x^2+6x+12=-6(x^2-x-2)=-6(x+1)(x-2)$.

Знак $f'(x)$ определяет квадратный трёхчлен с отрицательным коэффициентом при $x^2$, поэтому $f'(x)<0$ при $x<-1$, $f'(x)>0$ на $(-1,2)$, и $f'(x)<0$ при $x>2$.

Значит, функция убывает на $(-\infty,-1)$, возрастает на $(-1,2)$ и снова убывает на $(2,+\infty)$. Точка $x=-1$ — локальный минимум, $x=2$ — локальный максимум.

Находим значения в этих точках $f(-1)=((-1)^2-6)(3-2(-1))=(1-6)(3+2)=(-5)\cdot5=-25$. $f(2)=(2^2-6)(3-4)=(4-6)(-1)=(-2)(-1)=2$.

Строим эскиз графика График выходит из $+\infty$, убывает до значения $-25$ при $x=-1$, затем возрастает до $2$ при $x=2$, после чего снова убывает к $-\infty$. Такая «волна» пересекается горизонтальной прямой $y=a$ ровно три раза только тогда, когда прямая проходит строго между локальным минимумом и локальным максимумом — иначе (при $a\le -25$ или $a\ge 2$) число пересечений будет либо одно, либо два (касание в экстремуме даёт совпадающие корни, что не считается тремя различными решениями).

Вывод Три различных решения уравнение имеет при $$f(-1)<a<f(2)\ \Rightarrow\ -25<a<2.$$