Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Уравнения с параметром

Сгруппируем слагаемые так, чтобы выделить квадрат $(x-1)^2$: $$x^4-2x^3-4x^2+10x-5=x^2(x^2-2x+1)-5(x^2-2x+1)=(x-1)^2(x^2-5).$$ Почему так удобно: коэффициенты при $x^4,x^3,x^2$ подсказывают, что $x^2-2x+1=(x-1)^2$ входит дважды.

Тогда уравнение принимает вид $$(x-1)^2(x^2-5)-2ax+6a-a^2=0.$$ Это квадратное уравнение относительно параметра $a$: $$a^2-(6-2x)a+(x-1)^2(5-x^2)=0.$$

Заметим, что $(x-1)^2+(5-x^2)=6-2x$ — это сумма двух будущих корней, а их произведение равно свободному члену. По теореме Виета корни этого квадратного (по $a$) уравнения — $a_1=(x-1)^2$ и $a_2=5-x^2$. Значит $$\big(a-(x-1)^2\big)\big(a-(5-x^2)\big)=0 \iff a=(x-1)^2 \ \text{или}\ a=5-x^2.$$

Каждое из этих уравнений — парабола в системе координат $xOa$. Число решений исходного уравнения при фиксированном $a$ равно числу точек пересечения горизонтальной прямой $a=\text{const}$ с объединением этих двух параболов (с учётом совпадающих точек, где парабол пересекаются между собой).

Найдём точки пересечения парабол: $(x-1)^2=5-x^2\Rightarrow x^2-x-2=0\Rightarrow x=-1,\,x=2$, что даёт $a=4$ и $a=1$ соответственно — именно в этих точках происходит склеивание корней.

Считаем количество корней по интервалам: