Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Уравнения с параметром

1. Перепишем уравнение, перенеся все слагаемые с $2^{-x}$ и $4^{-x}$ в левую часть. Так как $2\cdot2^{1-x}=4\cdot2^{-x}=\dfrac{4}{2^x}$, получаем равносильное уравнение: $$4^x+4\cdot2^x+\frac{1}{4^x}+\frac{4}{2^x}+7=p.$$ Теперь задача — найти все значения $p$, для которых уравнение $f(x)=p$ имеет решение, то есть найти множество значений функции $f(x)=4^x+4\cdot2^x+\dfrac{1}{4^x}+\dfrac{4}{2^x}+7$.

2. Сгруппируем слагаемые так, чтобы выделить полные квадраты. Заметим, что $$4^x+\frac{1}{4^x}=\left(2^x-\frac{1}{2^x}\right)^2+2,$$ поскольку $(a-1/a)^2=a^2-2+1/a^2$ при $a=2^x$.

Аналогично, при $a=2^{x/2}$: $$2^x+2^{-x}=\left(2^{x/2}-2^{-x/2}\right)^2+2,$$ откуда $$4\left(2^x+\frac{1}{2^x}\right)=4\left(2^{x/2}-2^{-x/2}\right)^2+8.$$

3. Складывая все части, получаем: $$f(x)=\left(2^x-\frac{1}{2^x}\right)^2+4\left(2^{x/2}-2^{-x/2}\right)^2+17.$$

4. Оба квадрата неотрицательны, поэтому $f(x)\ge 17$ для всех $x$. Равенство достигается, когда оба выражения в скобках равны нулю, то есть $2^x=2^{-x}$ и $2^{x/2}=2^{-x/2}$, что выполняется при $x=0$. Значит, минимальное значение $f(0)=17$ действительно достигается.

5. Функция $f(x)$ непрерывна на всей числовой прямой (как сумма показательных функций), а при $x\to+\infty$ слагаемое $4^x\to+\infty$, остальные слагаемые неотрицательны, поэтому $f(x)\to+\infty$. По теореме о промежуточных значениях непрерывная функция, принимающая значение 17 и стремящаяся к $+\infty$, принимает все значения из промежутка $[17;+\infty)$, и только их.

6. Следовательно, уравнение $f(x)=p$ имеет решение тогда и только тогда, когда $p\ge 17$.