Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Уравнения с параметром

Так как $\sin(\arcsin t)=t$ только при $t\in[-1;1]$, то $\sin\left(\arcsin\frac{x}{36}\right)=\frac{x}{36}$ при $-36\le x\le36$. Значит уравнение равносильно системе $$x=\frac{(x-p)^2}{4},\quad -36\le x\le36.$$ Так как правая часть — квадрат, деленный на 4, она неотрицательна, поэтому $x\ge0$, и вместе с ограничением получаем $0\le x\le36$. Итог: $$4x=(x-p)^2,\qquad 0\le x\le36.$$

Рассмотрим это как пересечение графиков: слева — отрезок прямой $y=4x$ при $x\in[0;36]$ (от точки $(0;0)$ до $(36;144)$), справа — парабола $y=(x-p)^2$ с вершиной в точке $(p;0)$, ветви вверх. При изменении $p$ парабола сдвигается вдоль оси $x$, а нам нужно, чтобы она пересекала отрезок ровно один раз.

1. Пока парабола не касается прямой снизу, пересечений нет. Момент касания находим из условия $D=0$ для $x^2-2(p+2)x+p^2=0$: $$\frac{D}{4}=(p+2)^2-p^2=4p+4=0\Rightarrow p=-1.$$ При $p=-1$ — ровно одна точка касания (единственный корень).

2. При $p>-1$ парабола пересекает прямую в двух точках, пока обе точки лежат на отрезке $[0;36]$. По мере увеличения $p$ правая точка пересечения выходит за $x=36$: это происходит, когда парабола проходит через конец отрезка $(36;144)$: $$144=(36-p)^2\Rightarrow 36-p=\pm12\Rightarrow p=24\text{ или }p=48.$$

При $p=24$ правая точка пересечения совпадает с $(36;144)$ — ещё два корня (граница). При $24<p\le48$ одна из точек пересечения уходит за пределы отрезка, остаётся только одна точка на $[0;36]$ — единственный корень. При $p=48$ левая ветвь параболы касается конца отрезка, а при $p>48$ обе точки пересечения выходят за пределы отрезка — корней нет.

Собирая случаи единственного корня: $p=-1$ и $24<p\le48$.