Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Уравнения с параметром

1. Первый аргумент логарифма в числителе: $x^2+(2a+1)x+a^2+a+2026=(x+a+\tfrac12)^2+2025{,}75>0$ всегда. Поэтому равенство логарифмов $\log_{2025}A=\log_{2025}B$ равносильно просто $A=B$ (второй аргумент автоматически положителен, так как равен положительному первому).

2. Знаменатель $\sqrt{(3x-a+2025)\log_{2025}(2x+a-3)}$ должен существовать и быть ненулевым — берём подкоренное выражение строго положительным через положительность обоих множителей: $3x-a+2025>0$, $2x+a-3>0$, а также $2x+a-3\neq1$ (иначе логарифм равен нулю).

3. Из $A=B$ получаем $x^2-2ax-(2a+1)=0$, что раскладывается как $(x+1)(x-(2a+1))=0$, корни $x=-1$ и $x=2a+1$.

4. Подставляя $x=-1$ в систему условий, получаем $5<a<2022,\ a\neq6$, т.е. $a\in(5;6)\cup(6;2022)$.

5. Подставляя $x=2a+1$, получаем $a>\tfrac15,\ a\neq\tfrac25$, т.е. $a\in(\tfrac15;\tfrac25)\cup(\tfrac25;+\infty)$.

6. Корни совпадают только при $a=-1$, но там оба множества не содержат $a=-1$, значит совпадения корней нигде не происходит.

7. Уравнение имеет два корня там, где выполняются оба условия — это пересечение множеств, равное $(5;6)\cup(6;2022)$ (оно целиком лежит внутри второго множества). Единственный корень получается там, где выполняется ровно одно условие, то есть на симметрической разности множеств: из второго множества вычитаем пересечение: $(\tfrac15;\tfrac25)\cup(\tfrac25;+\infty)\setminus\big((5;6)\cup(6;2022)\big)=(\tfrac15;\tfrac25)\cup(\tfrac25;5]\cup\{6\}\cup[2022;+\infty)$.

Это и есть искомое множество значений $a$.