Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Уравнения с параметром

Перепишем уравнение как $\tan\frac{\pi x}{2}\cdot\log_3(a-2x)+\log_3(a-2x)=0$, то есть $\log_3(a-2x)\Big(\tan\frac{\pi x}{2}+1\Big)=0$. Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю (при соблюдении области определения: $a-2x>0$ и $x\neq1+2n$, т.к. там не существует тангенс).

Случай 1. $\tan\frac{\pi x}{2}=-1\Rightarrow x=-\frac12+2k$. На отрезке $[-2;0]$ подходит только $x=-\frac12$. Условие ОДЗ $a-2x>0$ даёт $a>-1$.

Случай 2. $\log_3(a-2x)=0\Rightarrow a-2x=1\Rightarrow x=\frac{a-1}{2}$. Нужно $-2\le x\le0$, что даёт $-3\le a\le1$, и $x\neq-1$ (иначе тангенс не определён), то есть $a\neq-1$.

Теперь смотрим, при каких $a$ из этих двух корней получается ровно один.

• Если $a\in[-3;-1)$: второй корень существует ($a\neq-1$, в диапазоне), а первый — нет, так как $a<-1$. Один корень $x=\frac{a-1}{2}$.
• Если $a=-1$: оба условия нарушаются, корней нет.
• Если $a\in(-1;1]$: оба корня существуют. Они совпадают только при $\frac{a-1}{2}=-\frac12\Rightarrow a=0$ — тогда решение единственное. При остальных $a$ из этого промежутка получаем два разных корня.
• Если $a>1$: второй случай невозможен ($a>1$ вне диапазона), остаётся только $x=-\frac12$ — единственное решение.

Объединяя промежутки, где корень ровно один: $a\in[-3;-1)$, $a=0$, $a\in(1;+\infty)$.