ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 18Уравнения с параметром

Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Уравнения с параметром

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 18Уравнения с параметромИспользование производной для нахождения наибольшего и наименьшего значения

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение

дробь: числитель: 2ax минус a Пи , знаменатель: 2x минус Пи конец дроби = 5 синус в степени 4 x плюс 2 синус в кубе x минус синус в квадрате x минус 1

не имеет корней на отрезке левая квадратная скобка минус Пи ; Пи правая квадратная скобка .

В подтеме 48 задач
Разбор
Главная идея: Свернуть дробь до aa, заменить sin⁡x=t\sin x=t, исследовать функцию f(t)f(t) на промежутке t∈[−1;1)t\in[-1;1) (с исключением t=1t=1, соответствующего запрещённому x=π/2x=\pi/2) и найти, для каких aa уравнение a=f(t)a=f(t) не имеет корней, анализируя множество значений ff.

  1. Дробь 2ax−aπ2x−π\dfrac{2ax-a\pi}{2x-\pi} определена при x≠π2x\neq\dfrac{\pi}{2}, а в остальных точках сокращается: a(2x−π)2x−π=a\dfrac{a(2x-\pi)}{2x-\pi}=a. Значит уравнение равносильно системе a=5sin⁡4x+2sin⁡3x−sin⁡2x−1a=5\sin^4x+2\sin^3x-\sin^2x-1, x≠π2x\neq\dfrac{\pi}{2}.

  2. Введём t=sin⁡xt=\sin x. На [−π;π][-\pi;\pi] значение t=1t=1 достигается только при x=π/2x=\pi/2, которую мы исключаем. Поэтому нужно, чтобы уравнение a=5t4+2t3−t2−1a=5t^4+2t^3-t^2-1 не имело решений при t∈[−1;1)t\in[-1;1).

  3. Рассмотрим f(t)=5t4+2t3−t2−1f(t)=5t^4+2t^3-t^2-1 на [−1;1)[-1;1). Находим производную: f′(t)=20t3+6t2−2t=2t(10t2+3t−1)=2t(2t+1)(5t−1)f'(t)=20t^3+6t^2-2t=2t(10t^2+3t-1)=2t(2t+1)(5t-1). Критические точки: t=−1/2, 0, 1/5t=-1/2,\,0,\,1/5.

  4. Вычисляем значения: f(−1)=1f(-1)=1, f(−1/2)=−19/16f(-1/2)=-19/16, f(0)=−1f(0)=-1, f(1/5)=−127/125f(1/5)=-127/125, и предел при t→1−t\to1^-: f(t)→5f(t)\to5.

  5. Анализируя знаки f′(t)f'(t) на интервалах между критическими точками, видно, что минимум функции равен −19/16-19/16 (в точке t=−1/2t=-1/2), а супремум (не достигается) равен 55 (при t→1t\to1). Значит множество значений f(t)f(t) на [−1;1)[-1;1) — это промежуток [−19/16; 5)[-19/16;\,5).

  6. Уравнение a=f(t)a=f(t) не имеет решений именно тогда, когда aa не попадает в этот промежуток, то есть a<−19/16a<-19/16 или a≥5a\ge5.

Отсюда получаем ответ.

Типичные ошибки

  • Забыть исключить точку x=π/2x=\pi/2 (т.е. t=1t=1) при сокращении дроби, что приводит к неверному включению значения a=5a=5 в множество значений функции.
  • Ошибки при вычислении производной или критических точек, из-за чего неверно определяется характер экстремумов (минимум/максимум).
  • Неправильное определение открытости/закрытости границ промежутка значений функции (перепутать [−19/16;5)[-19/16;5) с закрытым или открытым интервалом), что влияет на строгость неравенств в ответе.
Непонятно?

Похожие задачи