Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Уравнения с параметром

1. Пусть $t=\log_{2x}(4ax-a^2+1)$. Уравнение $t^2-2t=0$ равносильно $t=0$ или $t=2$.

2. При $t=0$: $4ax-a^2+1=1\Rightarrow 4ax=a^2$. При $t=2$: $4ax-a^2+1=(2x)^2\Rightarrow (2x-a)^2=1$.

Область определения логарифма даёт $2x>0,\;2x\ne1$, т.е. $x>0,\;x\ne\frac12$ (положительность аргумента выполняется автоматически, так как он равен степени основания).

3. Получаем совокупность корней: $x=\dfrac{a}{4}\ (a\ne0),\qquad x=\dfrac{a+1}{2},\qquad x=\dfrac{a-1}{2}$, при $a=0$ первое уравнение выполняется для любого $x$ из области определения — бесконечно много решений.

4. Проверяем, при каких $a$ каждый корень попадает в область $x>0,\ x\ne\frac12$, и не совпадает с другим корнем (совпадения дают $a=-2,\,2,\,8$ и т.п., большинство вне рассматриваемых промежутков).

Анализ по промежуткам:

• $a\le-1$: нет корней;
• $-1<a<0$: один корень;
• $a=0$: бесконечно много корней;
• $0<a\le1$: два корня ($x=\frac{a+1}{2},\,x=\frac a4$);
• $1<a<2$: три корня;
• $a=2$: один корень (два других совпадают с $x=\frac12$, что запрещено);
• $a>2$: три корня.

5. «Более двух корней» — это случаи с тремя корнями и бесконечным множеством решений: $a=0$, $1<a<2$, $a>2$.