Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Уравнения с параметром

Введём замену $t=(x-a)^2\ge 0$. Тогда уравнение $t\big(a t-a-1\big)=-1$ равносильно $at^2-(a+1)t+1=0$.

Разбираем $a=0$: получаем $-t+1=0\Rightarrow t=1$, то есть $(x)^2=1\Rightarrow x=\pm1$ — по одному положительному и отрицательному корню, условие «больше положительных» не выполняется.

При $a\ne0$ делим на $a$: $t^2-\left(1+\dfrac1a\right)t+\dfrac1a=0$. Это уравнение разлагается как $(t-1)\left(t-\dfrac1a\right)=0$, значит $t=1$ или $t=\dfrac1a$.

Возвращаясь к $x$: $(x-a)^2=1$ или $(x-a)^2=\dfrac1a$.

Если $a<0$, то $\dfrac1a<0$, второе уравнение не имеет решений (т.к. $t\ge0$). Первое даёт $x=a\pm1$; при $a<0$ корень $x=a-1<0$ — обязательно есть отрицательный корень, а положительных не больше, значит условие не выполняется.

Если $a>0$, оба уравнения дают по два корня: $x=a\pm1$ и $x=a\pm\dfrac{1}{\sqrt a}$. Корни $a+1$ и $a+\dfrac1{\sqrt a}$ всегда положительны. Чтобы положительных корней было больше, нужно, чтобы оставшиеся корни $a-1$ и $a-\dfrac1{\sqrt a}$ не были отрицательными, то есть $$a-1\ge0,\qquad a-\dfrac1{\sqrt a}\ge0.$$ Возводя в квадрат (с учётом $a>0$), получаем систему $a^2\ge1,\; a^3\ge1$, что при $a>0$ равносильно $a\ge1$.

Итог: подходит только $a\ge1$.