Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Уравнения с параметром

Перепишем уравнение, используя $\cos 2x = 1-2\sin^2 x$: $$8\sin^3x = p+9(1-2\sin^2x)\ \Rightarrow\ p = 8\sin^3x+18\sin^2x-9.$$

Введём замену $t=\sin x$. Так как синус принимает все значения из $[-1;1]$ и только их, исходное уравнение имеет решение тогда и только тогда, когда уравнение $$p=f(t)=8t^3+18t^2-9,\qquad t\in[-1;1]$$ имеет решение относительно $t$ на этом отрезке.

Чтобы найти множество значений $f(t)$, исследуем функцию с помощью производной: $$f'(t)=24t^2+36t=12t(2t+3).$$ Корни: $t=0$ и $t=-1{,}5$. Второй корень не входит в область $[-1;1]$, значит на этом отрезке единственная критическая точка — $t=0$.

Вычислим значения на концах и в критической точке: $$f(-1)=-8+18-9=1,\qquad f(0)=-9,\qquad f(1)=8+18-9=17.$$

Поскольку функция непрерывна, её множество значений на отрезке $[-1;1]$ — это промежуток между наименьшим и наибольшим из полученных значений, то есть $[-9;17]$ (значение $-9$ — минимум, $17$ — максимум).

Следовательно, уравнение $p=f(t)$ имеет решение только при $p\in[-9;17]$, а не имеет решений при $$p<-9\ \text{или}\ p>17,$$ что и даёт искомый ответ.