Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Уравнения с параметром

1. Уравнение с двумя корнями равносильно системе: подкоренные выражения равны, а одно из них (например левое) неотрицательно — тогда автоматически неотрицательно и второе: $$x^2-a^2=3x^2-(3a+1)x+a,\qquad x^2-a^2\ge0.$$

2. Приводим уравнение к виду $2x^2-(3a+1)x+a(a+1)=0$. Считая его квадратным относительно $x$, находим дискриминант: $D=(3a+1)^2-8a(a+1)=(a-1)^2$. Значит корни линейны по $a$: $$x=a\quad\text{или}\quad x=\dfrac{a+1}{2}.$$

3. Неравенство $x^2-a^2\ge0$ переписываем как $(x-a)(x+a)\ge0$ — это область между прямыми $a=x$ и $a=-x$ (включая границы), причём при $x\ge0$ это полоса $-x\le a\le x$.

4. Работаем в системе координат $(x,a)$. Первый корень даёт прямую $a=x$, второй — прямую $a=2x-1$ (из $x=(a+1)/2$). Нас интересует пересечение этих прямых с полосой $-x\le a\le x$ на отрезке $x\in[0;1]$.

5. Прямая $a=x$ целиком лежит на границе полосы, значит она всегда допустима при $a\in[0;1]$ (тогда $x=a\in[0;1]$).

6. Прямая $a=2x-1$ пересекает границы полосы: с $a=-x$ в точке $x=1/3,\ a=-1/3$ (точка $A$), с $a=x$ в точке $x=1,\ a=1$ (точка $B$). Между этими точками прямая лежит внутри полосы, то есть второй корень допустим при $a\in[-1/3;1]$.

7. Считаем число корней на $[0;1]$ по $a$:

• при $a<-1/3$ — оба корня вне полосы или отрезка — корней нет;
• при $-1/3\le a<0$ — первый корень $x=a<0$ не подходит, второй лежит в $[0;1]$ — один корень;
• при $0\le a<1$ — оба корня лежат в $[0;1]$ и различны — два корня;
• при $a=1$ — корни совпадают ($x=1$) — один корень;
• при $a>1$ — оба вне отрезка — корней нет.

Итог: ровно один корень при $a\in\left[-\dfrac13;0\right)$ или $a=1$.