Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Уравнения с параметром

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля: $x\neq 0,\ x\neq 3$, а из-за $\log_2 x$ ещё и $x>0$.

Рассмотрим числитель как квадратное уравнение относительно параметра $a$: $$2a^2+a(3x-2\log_2x-4)+(4-3x)\log_2x=0.$$ Заметим, что это уравнение раскладывается на множители: $$(a-\log_2x)\bigl(2a-(4-3x)\bigr)=0.$$ Проверка раскрытием скобок подтверждает совпадение с исходным выражением.

Отсюда получаем совокупность двух зависимостей: $$a=\log_2x \quad\text{или}\quad a=2-\dfrac32x,\qquad x>0,\ x\neq3.$$

Нужно найти, при каких $a$ хотя бы одна из этих кривых пересекает отрезок $x\in[0{,}5;4]$ (кроме точки $x=3$).

Функция $a=\log_2x$ монотонно возрастает, поэтому на $[0{,}5;4]$ она непрерывно принимает все значения от $\log_2 0{,}5=-1$ до $\log_2 4=2$, то есть $a\in[-1;2]$. Но при $x=3$ значение $a=\log_2 3$ исключается, и других $x$ с тем же $a$ на этом промежутке нет (логарифм инъективен) — значит, эта точка выпадает.

Функция $a=2-\dfrac32x$ линейна и убывает: при $x=0{,}5$ получаем $a=1{,}25$, при $x=4$ — $a=-4$. Значит на отрезке $a\in[-4;1{,}25]$. При $x=3$ значение $a=-2{,}5$ исключается, и на этой прямой других $x$ с тем же $a$ нет — точка $-2{,}5$ тоже выпадает.

Объединяя оба множества $[-1;2]\cup[-4;1{,}25]=[-4;2]$, нужно убрать выколотые точки $a=-2{,}5$ и $a=\log_2 3$ (они не восстанавливаются другой ветвью, так как $\log_2 3>1{,}25$, а $-2{,}5$ достигается только при $x=3$ на второй прямой).

Итог: $a\in[-4;-2{,}5)\cup(-2{,}5;\log_2 3)\cup(\log_2 3;2]$.