Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Уравнения с параметром

Шаг 1. Приводим уравнение к одному логарифму. Запишем $1=\log_2 2$, тогда левая часть равна $\log_2\bigl(2(2x^2+ax-a^2)\bigr)$. Уравнение принимает вид $\log_2\bigl(2(2x^2+ax-a^2)\bigr)=\log_2\bigl(x^2-ax+3x+3a-2a^2\bigr)$.

Шаг 2. Разлагаем квадратные выражения на множители. Подмечаем, что оба выражения делятся на $(x+a)$: $$2x^2+ax-a^2=(x+a)(2x-a),$$ $$x^2-ax+3x+3a-2a^2=(x+a)(x-2a+3).$$ Это удобно, так как множитель $(x+a)$ сократится.

Шаг 3. Равенство логарифмов равносильно равенству аргументов при условии положительности одного из них (тогда второй автоматически положителен, так как они равны): $$\begin{cases}2(x+a)(2x-a)=(x+a)(x-2a+3),\\ (x+a)(2x-a)>0.\end{cases}$$

Шаг 4. Упрощаем первое уравнение. $(x+a)\bigl[2(2x-a)-(x-2a+3)\bigr]=0 \Rightarrow (x+a)(3x-3)=0.$ Отсюда $x=-a$ или $x=1$.

Шаг 5. Проверяем корень $x=-a$. При $x=-a$ множитель $(x+a)=0$, значит неравенство $(x+a)(2x-a)>0$ не выполняется — этот корень не подходит.

Шаг 6. Подставляем $x=1$ в неравенство. $(1+a)(2-a)>0.$ Это квадратное неравенство относительно $a$: корни $a=-1$ и $a=2$, ветви параболы вниз (коэффициент при $a^2$ отрицательный), значит неравенство выполняется между корнями: $$-1<a<2.$$

Вывод. Уравнение имеет хотя бы одно решение (а именно $x=1$) при $a\in(-1;2)$.