Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Уравнения с параметром

ОДЗ: знаменатель $\sin t-\cos t\neq0$, значит $t\neq \frac{\pi}{4}+\pi n$. На отрезке $[0;\frac{\pi}{2}]$ это единственная выкидываемая точка $t=\frac{\pi}{4}$.

Умножив обе части на $(\sin t-\cos t)$, получаем равносильное уравнение $6k-(2-3k)\cos t=2(\sin t-\cos t)$, откуда после приведения подобных: $3k(\cos t+2)=2\sin t$.

Рассмотрим левую часть $L(t)=3k(\cos t+2)$ и правую $R(t)=2\sin t$ на $[0;\frac{\pi}{2}]$. $R(t)$ строго возрастает от $0$ до $2$. При $k\ge0$ функция $L(t)$ строго убывает (так как $\cos t$ убывает) от $L(0)=9k$ до $L(\frac{\pi}{2})=6k$; при $k<0$ $L(t)<0\le R(t)$, решений нет.

Возрастающая и убывающая функции пересекаются ровно один раз, если выполнено $L(0)\ge R(0)$ и $L(\frac{\pi}{2})\le R(\frac{\pi}{2})$, то есть $9k\ge0$ и $6k\le2$. Отсюда $0\le k\le\frac13$.

Нужно исключить случай, когда этот единственный корень равен $\frac{\pi}{4}$ (там уравнение не определено). Подставим $t=\frac{\pi}{4}$: $3k\left(\frac{\sqrt2}{2}+2\right)=2\cdot\frac{\sqrt2}{2}=\sqrt2$, откуда $k=\dfrac{2\sqrt2}{3(\sqrt2+4)}=\dfrac{4\sqrt2-2}{21}$ (после умножения числителя и знаменателя на $4-\sqrt2$).

Убираем это значение из отрезка $[0;\frac13]$, получаем ответ.