Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Уравнения с параметром

Заметим, что $x^2+2x+2a=x^2+2(x+a)$. Тогда левая часть уравнения принимает вид $\big(x^2+2(x+a)\big)^2=x^4+4x^2(x+a)+4(x+a)^2$.

Приравняв это к правой части $5x^4+5(x+a)^2$ и перенеся всё влево, получаем $$4x^4-4x^2(x+a)+(x+a)^2=0,$$ а это в точности квадрат разности: $$\big(2x^2-x-a\big)^2=0.$$ Значит исходное уравнение равносильно квадратному уравнению $$f(x)=2x^2-x-a=0.$$

Теперь нужно найти, при каких $a$ это квадратное уравнение имеет единственный корень на $[0;2]$. Для параболы это возможно в трёх ситуациях:

1. вершина параболы (единственный корень, т.е. дискриминант равен нулю) попадает внутрь отрезка;
2. единственный корень на отрезке совпадает с одним из концов $0$ или $2$, а второй корень уравнения (если он есть) лежит вне отрезка;
3. на концах отрезка функция $f$ имеет значения разных знаков — тогда один корень внутри отрезка, а другой обязательно снаружи.

Случай 1. Дискриминант $D=1+8a=0\Rightarrow a=-\dfrac18$. Тогда корень $x=\dfrac14\in[0;2]$ — подходит.

Случай 2. $f(0)=-a=0\Rightarrow a=0$, но тогда уравнение $2x^2-x=0$ даёт два корня $x=0$ и $x=1/2$ на отрезке — не подходит. $f(2)=6-a=0\Rightarrow a=6$, тогда уравнение $2x^2-x-6=0$ даёт корни $x=2$ и $x=-3/2$, второй вне отрезка — подходит.

Случай 3. $f(0)\cdot f(2)<0\Rightarrow -a(6-a)<0\Rightarrow 0<a<6$ — при таких $a$ ровно один корень лежит на $[0;2]$.

Объединяя все подходящие значения ($a=-1/8$, $a=6$, и интервал $0<a<6$), получаем итоговое множество: $a=-\dfrac18$ или $a\in(0;6]$.