ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 18Уравнения с параметром

Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Уравнения с параметром

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 18Координаты (x, a)Уравнения с параметром

Найти все значения параметра а, при которых уравнение

дробь: числитель: левая круглая скобка x в квадрате минус 4x плюс a правая круглая скобка в кубе , знаменатель: 2 конец дроби = левая круглая скобка a минус 4x правая круглая скобка левая круглая скобка 3x в степени 4 плюс левая круглая скобка a минус 4x правая круглая скобка в квадрате правая круглая скобка .

имеет единственное решение на промежутке левая круглая скобка минус 2 минус корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента ; 0 правая квадратная скобка .

В подтеме 48 задач
Разбор
Главная идея: Замена t=a−4xt=a-4x сворачивает уравнение в тождество (x2−t)3=0(x^2-t)^3=0, что сводит задачу к анализу параболы x2+4x=ax^2+4x=a на числовую единственность корня на заданном промежутке.

  1. Введём замену t=a−4xt=a-4x. Тогда x2−4x+a=x2+tx^2-4x+a=x^2+t, и уравнение принимает вид (x2+t)32=t(3x4+t2).\frac{(x^2+t)^3}{2}=t\left(3x^4+t^2\right).

  2. Раскроем куб слева и умножим на 2: x6+3x4t+3x2t2+t3=6x4t+2t3.x^6+3x^4t+3x^2t^2+t^3=6x^4t+2t^3. Перенесём всё влево: x6−3x4t+3x2t2−t3=0.x^6-3x^4t+3x^2t^2-t^3=0. Это в точности разложение куба разности: (x2−t)3=0(x^2-t)^3=0. Значит уравнение равносильно x2=tx^2=t, то есть x2=a−4xx^2=a-4x, или x2+4x=a.x^2+4x=a.

  3. Задача свелась к тому, при каких aa уравнение x2+4x=ax^2+4x=a имеет ровно один корень на промежутке (−2−2; 0](-2-\sqrt2;\,0].

  4. Рассмотрим функцию f(x)=x2+4xf(x)=x^2+4x — параболу с вершиной в точке (−2;−4)(-2;-4), ветви вверх. Вершина лежит внутри рассматриваемого промежутка, так как −2−2<−2<0-2-\sqrt2<-2<0. Поэтому на (−2−2;−2](-2-\sqrt2;-2] функция убывает, а на [−2;0][-2;0] возрастает.

  5. Найдём значения на концах: f(−2−2)=(−2−2)2+4(−2−2)=6+42−8−42=−2f(-2-\sqrt2)=(-2-\sqrt2)^2+4(-2-\sqrt2)=6+4\sqrt2-8-4\sqrt2=-2, но эта точка не входит в промежуток (граница открытая), f(−2)=−4f(-2)=-4, f(0)=0f(0)=0.

  6. Убывающая ветвь на (−2−2;−2](-2-\sqrt2;-2] принимает значения из [−4;−2)[-4;-2) (правый конец не достигается, так как точка x=−2−2x=-2-\sqrt2 исключена). Возрастающая ветвь на [−2;0][-2;0] принимает все значения из [−4;0][-4;0].

  7. При a=−4a=-4 обе ветви дают один и тот же корень x=−2x=-2 — решение единственно.

  8. При −4<a<−2-4<a<-2 уравнение имеет решение на обеих ветвях (разные точки) — два корня, не подходит.

  9. При −2≤a≤0-2\le a\le 0 убывающая ветвь такого значения не принимает (её область значений [−4;−2)[-4;-2)), поэтому работает только возрастающая ветвь — решение единственно.

Объединяя пункты 7 и 9, получаем ответ.

Типичные ошибки

  • Не заметить, что куб разворачивается в полный куб (x2−t)3(x^2-t)^3, и пытаться решать громоздкое уравнение напрямую
  • Забыть, что левая граница промежутка открытая, из-за чего неверно включить/исключить значение a=−2a=-2 или a=−4a=-4
  • Не разбить параболу на убывающую и возрастающую ветви относительно вершины при анализе количества корней
Непонятно?

Похожие задачи