Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Уравнения с параметром

Шаг 1. Раскрываем и упрощаем уравнение.

Запишем $(x^2-x-a)^2=2x^4+2(x+a)^2$. Раскроем левую часть, представив $x^2-x-a=x^2-(x+a)$:

$$(x^2-(x+a))^2=x^4-2x^2(x+a)+(x+a)^2.$$

Подставим в уравнение: $$x^4-2x^2(x+a)+(x+a)^2=2x^4+2(x+a)^2.$$

Переносим всё влево: $$-x^4-2x^2(x+a)-(x+a)^2=0 \;\Rightarrow\; x^4+2x^2(x+a)+(x+a)^2=0.$$

Левая часть — квадрат суммы: $(x^2+x+a)^2=0$. Значит уравнение равносильно $x^2+x+a=0$. Это ключевое упрощение — весь сложный вид свернулся в квадратное уравнение относительно $x$.

Шаг 2. Обозначим $f(x)=x^2+x+a$.

Нужно найти, при каких $a$ квадратный трёхчлен $f(x)=0$ имеет ровно один корень на $[-1;1]$.

Парабола ветвями вверх может иметь один корень на отрезке в трёх ситуациях:

1. Уравнение имеет один (кратный) корень, и он лежит в $[-1;1]$ — это когда дискриминант равен нулю.
2. Один из корней совпадает с концом отрезка ($x=-1$ или $x=1$), а второй корень лежит вне отрезка.
3. Значения $f(-1)$ и $f(1)$ имеют разные знаки (тогда ровно один корень строго внутри интервала, второй — снаружи, по свойству непрерывной функции).

Случай 1. Дискриминант $D=1-4a=0\Rightarrow a=0{,}25$. Корень $x=-0{,}5\in[-1;1]$ — подходит.

Случай 2. $f(-1)=a$, $f(1)=2+a$.

• $f(-1)=0\Rightarrow a=0$: корни $x=-1$ и $x=0$ — оба на отрезке, значит два решения, не подходит.
• $f(1)=0\Rightarrow a=-2$: корни удовлетворяют $x^2+x-2=0\Rightarrow x=1,\,x=-2$; второй корень вне отрезка — подходит, значение $a=-2$ включаем.

Случай 3. $f(-1)\cdot f(1)<0\Rightarrow a(2+a)<0\Rightarrow a\in(-2;0)$.

Шаг 3. Объединяем результаты.

Из случая 3 получаем интервал $(-2;0)$, из случая 2 добавляем граничное значение $a=-2$ (даёт единственный корень), а $a=0$ отбрасываем (два корня). Получаем $a\in[-2;0)$. Отдельно добавляется $a=0{,}25$ из случая 1.

Ответ: $a\in[-2;0)\cup\{0{,}25\}$.