Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Уравнения с параметром

Раскроем квадраты в уравнении $(x^2-5+\ln(x-a))^2=(x^2-5)^2+\ln^2(x-a)$. Слева получаем $(x^2-5)^2+2(x^2-5)\ln(x-a)+\ln^2(x-a)$. После сокращения одинаковых слагаемых с обеих сторон остаётся $2(x^2-5)\ln(x-a)=0$, то есть $(x^2-5)\ln(x-a)=0$ при условии $x-a>0$ (иначе логарифм не определён).

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю, а второй имеет смысл. Значит, либо $x^2=5$ (при этом нужно $x>a$), либо $\ln(x-a)=0$, откуда $x=a+1$ (это всегда допустимо, так как $x^2-5$ определено везде).

На отрезке $[0;3]$ уравнение $x^2=5$ даёт единственный корень $x=\sqrt5$. Он входит в область допустимых значений, если $\sqrt5-a>0$, то есть $a<\sqrt5$.

Уравнение $x=a+1$ лежит в $[0;3]$, если $a\in[-1;2]$.

Теперь разберём, когда всего решений ровно одно:

• Если $a\ge\sqrt5$ — корень $x=\sqrt5$ недопустим, а $a+1$ не входит в $[-1;2]$ (так как $\sqrt5>2$). Решений нет.
• Если $a<\sqrt5$, корень $x=\sqrt5$ есть всегда. Тогда:
• при $a\in[-1;2]$ появляется второй корень $x=a+1$. Оба решения совпадают только если $a+1=\sqrt5$, то есть $a=\sqrt5-1\approx1.24$, что действительно лежит в $[-1;2]$. При остальных $a$ из этого промежутка получаем два разных корня — уравнение не подходит.
• при $a<-1$ или $2<a<\sqrt5$ второй корень отсутствует (не входит в допустимый диапазон), и остаётся только $x=\sqrt5$ — единственное решение.

Таким образом, единственное решение на $[0;3]$ получается при $a<-1$, при $a=\sqrt5-1$ и при $2<a<\sqrt5$.