Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Уравнения с параметром

Сначала разберёмся с функцией $f(t)=\dfrac{\sqrt[3]{(27t^2+4)(t+2)+32t}}{t-\sqrt{t^2}}$. При $t\ge0$ знаменатель $t-\sqrt{t^2}=t-|t|=0$, значит функция там не существует — область определения $t<0$.

При $t<0$ $\sqrt{t^2}=-t$, поэтому знаменатель равен $2t$. Числитель под корнем раскладывается: $(27t^2+4)(t+2)+32t=27t^3+54t^2+36t+8=(3t+2)^3$. Значит $f(t)=\dfrac{3t+2}{2t}=\dfrac32+\dfrac1t$.

В исходном уравнении аргумент $f$ равен $1/x$, поэтому нужно $1/x<0$, то есть $x<0$. При этом $f(1/x)=\dfrac32+x$. Подставляем и упрощаем: $$x^2+2ax+2x+a^2+2a-5=3+2x \;\Leftrightarrow\; x^2+2ax+a^2+2a-8=0.$$ Задача сводится к тому, чтобы это квадратное уравнение имело ровно один отрицательный корень.

Возможны три ситуации:

$D/4=a^2-(a^2+2a-8)=8-2a$. $D=0$ при $a=4$, тогда $x=-a=-4<0$ — подходит.

Корни разных знаков у уравнения со старшим коэффициентом 1 бывают, когда свободный член отрицателен: $a^2+2a-8<0\Rightarrow (a+4)(a-2)<0\Rightarrow -4<a<2$ — все эти значения годятся.

Нулевой корень возникает при $a^2+2a-8=0$, то есть $a=-4$ или $a=2$. При $a=-4$: $x^2-8x=0\Rightarrow x=0$ или $x=8$ — второй корень положителен, не подходит. При $a=2$: $x^2+4x=0\Rightarrow x=0$ или $x=-4$ — второй корень отрицателен, подходит.

Объединяя все подходящие значения: интервал $(-4;2)$ пополняется точкой $a=2$ и отдельно добавляется $a=4$: получаем $(-4;2]\cup\{4\}$.