Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Уравнения с параметром

Введём замену: пусть $u=\left(\dfrac{3}{5}\right)^{x^2}$. Поскольку $x^2\ge 0$, значение $u$ принимает все значения из промежутка $(0;1]$ (при $x=0$ получаем $u=1$, а при $x^2\to\infty$ $u\to0$, но не достигает нуля).

Разделим числитель и знаменатель дроби на $25^{x^2}=5^{2x^2}$. Учитывая, что $25^{x^2-1}=\dfrac{25^{x^2}}{25}$, $\dfrac{15^{x^2}}{25^{x^2}}=\left(\dfrac35\right)^{x^2}=u$, а $\dfrac{9^{x^2}}{25^{x^2}}=\left(\dfrac35\right)^{2x^2}=u^2$, уравнение принимает вид $$\dfrac{b+u}{2u^2-u}=1,\qquad b=\dfrac{a}{25}.$$

При $u\neq0$, $u\neq0{,}5$ (иначе знаменатель равен нулю) это равносильно $$2u^2-2u-b=0.$$

Рассмотрим $f(u)=2u^2-2u-b$ — параболу с ветвями вверх и вершиной при $u=0{,}5$. Заметим, что $f(0)=f(1)=-b$ — значения на концах промежутка совпадают из-за симметрии относительно вершины.

Чтобы уравнение имело корень в $(0;1]$, $u\neq0{,}5$, нужно, чтобы минимум был отрицателен (иначе корней либо нет, либо единственный корень $u=0{,}5$, который недопустим), то есть $f(0{,}5)<0$. Тогда парабола пересекает ось в двух точках, симметричных относительно $0{,}5$. Чтобы правый корень (лежащий в $(0{,}5;+\infty)$) не выходил за пределы $1$, требуется $f(1)\ge0$.

Получаем систему: $$\begin{cases}f(0{,}5)=0{,}5-1-b<0\\f(1)=-b\ge0\end{cases}\Rightarrow \begin{cases}b>-0{,}5\\b\le0\end{cases}\Rightarrow -0{,}5<b\le0.$$

Возвращаясь к $a=25b$, получаем $-12{,}5<a\le0$.