Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Уравнения с параметром

Делаем замену $t=\cos x$. На промежутке $x\in(-\pi/3;\pi/2]$ функция $\cos x$ не монотонна: она возрастает от $1/2$ до $1$ на $[-\pi/3;0]$ и убывает от $1$ до $0$ на $[0;\pi/2]$. Отсюда: значению $t=1$ соответствует ровно один корень ($x=0$); каждому $t\in[0;1/2]$ — ровно один корень (только с убывающей ветви, так как возрастающая ветвь охватывает только $[1/2;1]$); каждому $t\in(1/2;1)$ — два корня; остальным $t$ — ни одного.

Квадратное уравнение относительно $t$: $t^2-a^2 t+\left(a^2-a+\tfrac12\right)\left(a-\tfrac12\right)=0$ по теореме, обратной теореме Виета, имеет корни $t=a-\tfrac12$ и $t=a^2-a+\tfrac12$ (их сумма равна $a^2$, произведение — свободному члену, что совпадает с коэффициентами).

В плоскости $(a,t)$ первый корень — прямая, второй — парабола. Они касаются друг друга, потому что уравнение $a^2-a+\tfrac12=a-\tfrac12$ равносильно $(a-1)^2=0$, то есть единственная точка касания при $a=1$.

Чтобы исходное уравнение имело ровно один корень по $x$, нужно, чтобы ровно одно из двух значений $t$ попало в «однокорневое» множество $[0;\tfrac12]\cup\{1\}$, а другое — вне отрезка $[0;1]$ (тогда оно не даёт корней). Отдельный случай — касание при $a=1$: оба значения совпадают и равны $t=\tfrac12$, что входит в однокорневое множество, значит один корень есть.

Находим границы: — $a_1$ — меньший корень уравнения $a^2-a+\tfrac12=1$, то есть $(a-\tfrac12)^2=\tfrac34$, отсюда $a_1=\dfrac{1-\sqrt3}{2}$; — $a_2$ — корень уравнения $a-\tfrac12=0$, то есть $a_2=\tfrac12$; — $a_3$ — корень уравнения $a-\tfrac12=1$, то есть $a_3=\tfrac32$.

Собирая все случаи, получаем, что ровно один корень на заданном промежутке существует при $a=a_1$, $0\le a<a_2$, $a=1$ и $a=a_3$, то есть при $a\in[0;\tfrac12)\cup\left\{\dfrac{1-\sqrt3}{2};1;\dfrac32\right\}$.