Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Уравнения с параметром

Логарифм $\log_p p$ определён и равен $1$ при $p>0,\ p\neq1$. Значит уравнение равносильно системе: $$\dfrac{a^2-3x^2+2ax+2a+8x+1}{(\sqrt{2x+1})^2}=1,\quad \dfrac{5}{3}-\dfrac{x^2}{6}-\dfrac{a^2}{6}>0,\quad \dfrac{5}{3}-\dfrac{x^2}{6}-\dfrac{a^2}{6}\neq1.$$ Корень в знаменателе даёт ОДЗ $2x+1>0$, а его квадрат равен $2x+1$.

Умножаем первое уравнение на $2x+1$ и упрощаем: получаем $$3x^2-2(a+3)x-a^2-2a=0.$$ Это квадратное по $x$, но раскладывается на множители относительно $a$: $(a-x+2)(a+3x)=0$, то есть $$a=x-2\quad\text{или}\quad a=-3x.$$

Остальные условия переписываются как $x>-0{,}5$, $x^2+a^2<10$ (внутри окружности радиуса $\sqrt{10}$) и $x^2+a^2\neq4$ (исключаем окружность радиуса $2$).

Задача сводится к анализу на плоскости $xOa$: сколько точек пересечения имеют прямые $a=x-2$ и $a=-3x$ с вертикалью $x=a$ (то есть для каждого $a$ — сколько значений $x$ удовлетворяют системе) внутри большой окружности, вне маленькой, при $x>-0{,}5$.

Находим ключевые точки пересечения прямых с границами: $x=-0{,}5$ даёт $a=-2{,}5$ и $a=1{,}5$; окружность $x^2+a^2=10$ даёт $a=-3,\,1,\,3$ и $x=\sqrt{0{,}4}$; окружность $x^2+a^2=4$ даёт $a=-2,\,0,\,-3\sqrt{0{,}4},\,-1{,}5$; сами прямые пересекаются при $a=-1{,}5$ (общая точка $(0{,}5;-1{,}5)$).

Прослеживая, сколько раз горизонталь $a=\text{const}$ пересекает разрешённые части прямых (учитывая исключения на малой окружности), находим, что ровно один корень получается при $$-3<a\le-2{,}5,\quad a=-2,\quad a=-3\sqrt{0{,}4},\quad a=-1{,}5,\quad a=0,\quad 1\le a<1{,}5.$$