Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Уравнения с параметром

Шаг 1. Приводим уравнение к одному основанию. Исходное уравнение $(a-1)\cdot25^{x}+(2a-14)\cdot15^{x}=(3a-15)\cdot9^{x}$ содержит степени с основаниями 25, 15, 9 — все они выражаются через отношение $5/3$: $25=5^2$, $9=3^2$, $15=5\cdot3$. Делим обе части на $9^{x}>0$ (это законно, оно не равно нулю), получаем $$(a-1)\left(\frac53\right)^{2x}+(2a-14)\left(\frac53\right)^{x}-(3a-15)=0.$$

Шаг 2. Замена переменной. Положим $t=\left(\frac53\right)^{x}$. Так как показательная функция строго монотонна, каждому $t>0$ соответствует единственный $x$, а при $t\le 0$ решений нет. Значит задача сводится к поиску таких $a$, при которых уравнение $$(a-1)t^{2}+(2a-14)t-(3a-15)=0$$ имеет ровно один положительный корень.

Шаг 3. Случай $a=1$. При $a=1$ квадратный член пропадает: $-12t+12=0\Rightarrow t=1>0$ — ровно один положительный корень, значит $a=1$ подходит.

Шаг 4. Случай $a\ne1$. Замечаем, что сумма коэффициентов $(a-1)+(2a-14)-(3a-15)=0$, значит $t=1$ — всегда корень. По теореме Виета второй корень равен $$t_2=\frac{-(3a-15)}{a-1}=\frac{12}{a-1}-3.$$ Корень $t=1$ положителен при любых $a$, поэтому он всегда даёт решение исходного уравнения. Чтобы решений было ровно одно, нужно либо чтобы второй корень совпал с первым, либо чтобы он был неположительным (тогда не даёт нового $x$).

Шаг 5. Совпадение корней. $$1=\frac{12}{a-1}-3\;\Rightarrow\;4=\frac{12}{a-1}\;\Rightarrow\;a-1=3\;\Rightarrow\;a=4.$$

Шаг 6. Второй корень неположителен. $$\frac{12}{a-1}-3\le0\;\Leftrightarrow\;\frac{12-3(a-1)}{a-1}\le0\;\Leftrightarrow\;\frac{-3a+15}{a-1}\le0.$$ Решая методом интервалов, получаем $a<1$ или $a\ge5$.

Шаг 7. Объединение случаев. Собираем все найденные значения: $a=1$ (шаг 3), $a<1$ и $a\ge5$ (шаг 6), $a=4$ (шаг 5). Итог: $a\le1$, $a=4$, $a\ge5$.