Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Уравнения с параметром

Из второго уравнения $\sqrt{2x+y}=\dfrac{x}{2}$ нужно $x\ge0$, а после возведения в квадрат $2x+y=\dfrac{x^2}{4}$, т.е. $y=\dfrac{x^2}{4}-2x=\dfrac{x^2-8x}{4}$, $x\ge0$.

Подставляя $x^2-8x=4y$ в первое уравнение, получаем $|a|^y-\dfrac{5(y+5)}{a^4}=\dfrac{y}{a^4}$, откуда после умножения на $a^4$ и приведения — $|a|^{y+4}=6y+25$ (*).

Парабола $y=\dfrac{x^2-8x}{4}$ при $x\ge0$: вершина $(4,-4)$. Значению $y=-4$ соответствует один $x$, каждому $y\in(-4,0)$ — два $x$, $y=0$ — один $x$ (в начале координат), $y>0$ — один $x$ (правая ветвь).

Уравнение (*) при $y=-4$ даёт $|a|^0=1$ — верно всегда, значит $x=4$ — решение при любом $a\ne0$. Чтобы всего решений стало ровно три, нужно ещё ровно два решения по $x$, а это возможно только если найдётся ровно одно значение $y\in(-4,0)$, удовлетворяющее (*) (оно даст два $x$), и при этом никаких решений при $y=0$ и $y>0$.

Перепишем (*) как $|a|=f(y)=(6y+25)^{1/(y+4)}$. Исследование производной показывает, что $f$ строго убывает на $(-4,+\infty)$, причём $\lim_{y\to-4^+}f(y)=e^{6}$, $\lim_{y\to+\infty}f(y)=1$, $f(0)=25^{1/4}=\sqrt5$.

Так как $f$ монотонна, уравнение $|a|=f(y)$ на всём $(-4,+\infty)$ имеет не более одного решения. Чтобы это решение попало именно в $(-4,0]$ (а не в $(0,+\infty)$), нужно $|a|\ge f(0)=\sqrt5$; чтобы решение действительно существовало (было строго больше $-4$), нужно $|a|<e^{6}$.

Отсюда $\sqrt5\le|a|<e^{6}$, то есть $a\in(-e^{6};-\sqrt5]\cup[\sqrt5;e^{6})$.