Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Уравнения с параметром

1. Приведём функцию к более удобному виду, разложив знаменатель как полный квадрат: $$y=\frac{5a+10(15-a)x}{(10x+a)^2+25}.$$ Знаменатель всегда положителен, поэтому функция определена и непрерывна для всех $x$. Значит, если найдутся точки $x_0$ и $x_1$, в которых $y(x_0)=0$ и $y(x_1)=1$, то по свойству непрерывных функций (теорема о промежуточном значении) функция принимает и все промежуточные значения, то есть весь отрезок $[0;1]$ попадает в множество значений.

2. Уравнение $y=0$: $5a+10(15-a)x=0\Rightarrow 10(a-15)x=-5a$. Оно имеет решение при $a\ne15$ (при $a=15$ получаем $75=0$ — противоречие, решений нет).

3. Уравнение $y=1$: $5a+10(15-a)x=(10x+a)^2+25$. После раскрытия и приведения подобных получаем квадратное уравнение относительно $x$: $$100x^2+30(a-5)x+a^2-5a+25=0.$$ Оно имеет решение тогда и только тогда, когда его дискриминант неотрицателен: $$D=900(a-5)^2-400(a^2-5a+25)=500(a^2-14a+25)\ge0.$$

4. Решаем неравенство $a^2-14a+25\ge0$. Корни: $a=7\pm2\sqrt6$. Значит, $$(a-(7-2\sqrt6))(a-(7+2\sqrt6))\ge0\Rightarrow a\le7-2\sqrt6\ \text{или}\ a\ge7+2\sqrt6.$$

5. Совмещаем оба условия: нужно, чтобы одновременно выполнялось $a\ne15$ и $a\le7-2\sqrt6$ или $a\ge7+2\sqrt6$. Так как $7+2\sqrt6\approx11.9<15$, значение $a=15$ попадает в найденный промежуток и должно быть исключено.

Итог: $a\in(-\infty;7-2\sqrt6]\cup[7+2\sqrt6;15)\cup(15;+\infty)$.