Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Уравнения с параметром

Шаг 1. Определяем ОДЗ логарифма. Основание $1-x>0$ и $1-x\neq1$, значит $x<1$ и $x\neq0$.

Шаг 2. Раскрываем логарифмическое уравнение. По определению логарифма $\log_{b}(c)=2 \iff c=b^2$ (при допустимых $b$). Получаем $$a-x+2=(1-x)^2.$$ Раскрывая квадрат и выражая $a$, находим $$a=x^2-x-1.$$ Таким образом исходное уравнение равносильно системе: $$x<1,\quad x\neq0,\quad a=x^2-x-1.$$

Шаг 3. Учитываем требуемый промежуток для корня. Нам нужно, чтобы хотя бы один такой $x$ лежал в $[-1;1)$. Значит ищем, при каких $a$ уравнение $a=x^2-x-1$ имеет решение при $x\in[-1;1)$, $x\neq0$.

Шаг 4. Анализируем функцию $f(x)=x^2-x-1$ на этом множестве. Это парабола с вершиной в $x=1/2$, где $f(1/2)=-5/4$ — минимум. На $[-1;1/2]$ функция убывает от $f(-1)=1$ до $-5/4$, на $[1/2;1)$ возрастает от $-5/4$ до значения, близкого к $f(1)=-1$, но само значение $-1$ не достигается (точка $x=1$ выколота).

Значит множество значений $f$ на $[-1;1)$ — это отрезок $[-5/4;1]$, при этом значение $a=-1$ достигается дважды: при $x=1$ (не входит) и при $x=0$ (исключено по ОДЗ). Проверка: $x^2-x-1=-1\Rightarrow x(x-1)=0\Rightarrow x=0$ или $x=1$ — оба недопустимы.

Значит $a=-1$ не даёт корня в требуемом промежутке, его нужно исключить.

Шаг 5. Формируем итоговое множество параметров. Все остальные значения из $[-5/4;1]$ реализуются при допустимых $x$, поэтому $$a\in[-5/4;-1)\cup(-1;1].$$