Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Уравнения с параметром

ОДЗ: $x+a>0,\ x-a>0$, значит область определения зависит от знака $a$.

Введём замену $t=\log_8(x+a)-\log_8(x-a)$. Тогда уравнение превращается в квадратное относительно $t$: $$t^2-12at+35a^2-6a-9=0.$$

Подбираем разложение по теореме, обратной теореме Виета: сумма корней $12a=(5a-3)+(7a+3)$, произведение $(5a-3)(7a+3)=35a^2-6a-9$. Значит $$t^2-\big((5a-3)+(7a+3)\big)t+(5a-3)(7a+3)=0\ \Leftrightarrow\ t=5a-3\ \text{или}\ t=7a+3.$$

Значит исходное уравнение имеет ровно два корня по $x$ тогда, когда график функции $f(x)=\log_8(x+a)-\log_8(x-a)$ пересекает горизонтальные прямые $y=5a-3$ и $y=7a+3$ ровно в двух точках суммарно.

Если $a=0$, ОДЗ пустое — решений нет. Если $a=-3$, обе прямые совпадают ($y=-18$), и одна прямая может дать не более одного пересечения — не подходит для двух точек, поэтому $a=-3$ исключаем.

Для $a\neq0$ преобразуем $f(x)=\log_8\frac{x+a}{x-a}=\log_8\Big(1+\frac{2a}{x-a}\Big)$. При $x\to\infty$ значение $f(x)\to0$. При $a>0$ функция убывает от $+\infty$ до $0$, при $a<0$ — возрастает от $-\infty$ до $0$ (после сдвига области определения). В обоих случаях $f$ принимает каждое ненулевое значение ровно один раз, а значение $0$ не достигается.

Чтобы получить ровно две точки пересечения, обе прямые $y=5a-3$ и $y=7a+3$ должны лежать в области значений $f$, то есть иметь тот же знак, что и вся кривая: — при $a>0$: $5a-3>0$ и $7a+3>0$ ⇒ $a>\frac{3}{5}$; — при $a<0$: $5a-3<0$ и $7a+3<0$ ⇒ $a<-\frac{3}{7}$.

Учитывая исключённое $a=-3$, получаем окончательный ответ.