Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Уравнения с параметром

Уравнение равносильно системе: числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю, т.е. $x^2-2x+a^2-4a=0$ при условии $x^2\neq a$.

Шаг 1. Преобразуем числитель, выделяя полные квадраты по $x$ и по $a$: $$x^2-2x+a^2-4a=(x-1)^2+(a-2)^2-5=0\;\Rightarrow\;(x-1)^2+(a-2)^2=5.$$ Это уравнение окружности с центром $(1;2)$ и радиусом $\sqrt5$ в системе координат $(x;a)$.

Шаг 2. Знаменатель обращается в ноль при $a=x^2$ — это парабола в тех же координатах. Значит недопустимые точки — точки пересечения окружности с параболой.

Шаг 3. Для фиксированного $a$ число корней $x$ уравнения числителя равно числу пересечений горизонтальной прямой $a=\text{const}$ с окружностью. Дискриминант квадратного по $x$ уравнения равен $D=4(1-a^2+4a)$. Условие $D>0$ (два разных корня) даёт $a^2-4a-1<0$, то есть $2-\sqrt5<a<2+\sqrt5$. При $D\le0$ решений меньше двух.

Шаг 4. Но нужно ещё убедиться, что оба найденных корня $x$ не обращают знаменатель в нуль. Подставим $a=x^2$ в уравнение окружности $(x-1)^2+(x^2-2)^2=5$ и решим — получаем $x=0,\,x=-1,\,x=2$, что соответствует точкам $(0;0),\,(-1;1),\,(2;4)$, то есть критическим значениям $a=0,\,1,\,4$. В этих точках один из двух корней числителя совпадает с нулём знаменателя, поэтому фактически остаётся только одно допустимое решение — эти значения нужно исключить.

Шаг 5. Объединяя условие $2-\sqrt5<a<2+\sqrt5$ и исключая $a=0,1,4$, получаем итоговое множество значений параметра.