Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Уравнения с параметром

1. Уравнение распадается на два: $x=a-4$ и $x^2-ax+4a-17=0$.

2. У квадратного уравнения дискриминант $D=a^2-16a+68$. Проверим его знак как квадратного трёхчлена по $a$: его дискриминант $16^2-4\cdot68=-16<0$, значит $D>0$ при любых $a$ — корни $x_{2,3}=\dfrac{a\pm\sqrt{a^2-16a+68}}{2}$ всегда действительны и различны.

3. Сравним $x_1=a-4$ с $x_2$ и $x_3$. Разность $x_1-x_2$ приводится к сравнению $a-8$ и $\sqrt{(a-8)^2+4}$: так как правая часть всегда больше по модулю (под корнем добавлено 4), получаем $x_1<x_2$ всегда. Аналогично $x_1-x_3$ сводится к сравнению $a-8$ и $-\sqrt{(a-8)^2+4}$, откуда $x_1>x_3$ всегда.

Значит $x_3<x_1<x_2$: наименьший корень — $x_3$, наибольший — $x_2$, а $x_1$ — средний.

4. Расстояние между наибольшим и наименьшим корнями: $$x_2-x_3=\sqrt{a^2-16a+68}.$$

5. Требуем $\sqrt{a^2-16a+68}\ge 9$, то есть $$a^2-16a+68\ge81 \;\Leftrightarrow\; a^2-16a-13\ge0.$$

6. Корни этого квадратного неравенства: $a=8\pm\sqrt{77}$. Значит решение — $a\le 8-\sqrt{77}$ или $a\ge 8+\sqrt{77}$.

7. Оценим $\sqrt{77}$: $8^2=64<77<81=9^2$, значит $8<\sqrt{77}<9$, откуда $16<8+\sqrt{77}<17$. Значит наименьшее натуральное число, удовлетворяющее $a\ge 8+\sqrt{77}$, — это $a=17$. Ветвь $a\le8-\sqrt{77}$ даёт отрицательные значения и не подходит для натуральных чисел.

Ответ: $a=17$.