Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Уравнения с параметром

1. Перепишем уравнение, перенеся слагаемые: $2x^4+162\sin|x|=\dfrac{4}{3}a^3+7a^2+6a$. Обозначим левую часть $g(x)=2x^4+162\sin|x|$, правую $f(a)=\dfrac{4}{3}a^3+7a^2+6a$.

2. Изучим $g(x)$. На $[-3;3]$ обе части $2x^4$ и $162\sin|x|$ неотрицательны (там $|x|\le\pi$), поэтому $g(x)\ge0$, причём $g(0)=0$. Вне отрезка $2x^4>2\cdot3^4=162\ge|162\sin|x||$, значит и там $g(x)>0$. Кроме того $g(x)\ge 2x^4-162\to+\infty$, то есть $g$ непрерывна, принимает все неотрицательные значения (в силу теоремы о промежуточных значениях), а значение 0 - только при $x=0$.

3. Значит, для каждого $c\ge0$ найдётся хотя бы один $x$ с $g(x)=c$. Уравнение $g(x)=f(a)$ имеет решения только если $f(a)\ge0$, и множество его корней зависит только от числа $c=f(a)$. Поэтому один и тот же корень $x$ может получиться при разных $a$ только если этим $a$ соответствует одно и то же значение $f(a)$.

4. Значит, требуется найти такие $a$, при которых значение $f(a)\ge0$ достигается функцией $f$ только один раз (иначе найдётся другое $a'$ с тем же $f(a')=f(a)$, дающее общий корень).

5. Исследуем $f(a)=\dfrac{4}{3}a^3+7a^2+6a$ на монотонность: $f'(a)=4a^2+14a+6=2(a+3)(2a+ \tfrac12\cdot4)=2(a+3)(2a+1)\cdot...$ (после преобразования) $f'(a)=2(a+3)(2a+1)$. Отсюда $f$ возрастает при $a<-3$ и $a>-\dfrac12$, убывает при $-3<a<-\dfrac12$.

6. Находим значения в точках экстремума: $f(-3)=9$, $f(-\tfrac12)=-\dfrac{17}{12}$ (то есть меньше нуля). Поскольку при $a\to-\infty$ функция $f\to-\infty$, а при $a\to+\infty$ $f\to+\infty$, график имеет вид: рост до локального максимума $9$ при $a=-3$, спад до отрицательного минимума, затем рост до $+\infty$.

7. Из этого поведения видно: значение $9$ достигается два раза ($a=-3$ и ещё раз при возрастающей ветви справа), любое значение из $[0;9)$ — три раза (на убывающей и двух возрастающих ветвях), а любое значение больше $9$ достигается только один раз (только на правой возрастающей ветви, где $f$ уже монотонно растёт и больше не пересекает эту высоту).

8. Значит, условие задачи выполняется, когда $f(a)>9$. Решаем неравенство: $\dfrac{4}{3}a^3+7a^2+6a>9 \iff 4a^3+21a^2+18a-27>0 \iff (a+3)^2(4a-3)>0$. Поскольку $(a+3)^2\ge0$ и равно нулю только при $a=-3$ (что не подходит, там значение равно 9, а не больше), неравенство равносильно $4a-3>0$, то есть $a>\dfrac34$.

Итог: $a\in\left(\dfrac34;+\infty\right)$.