Задание 13: тригонометрия и логарифмы в уравнениях ЕГЭ профиль

О чём эта подтема

В задании 13 профильного ЕГЭ часто встречаются уравнения, где тригонометрическая функция стоит под знаком логарифма или логарифмическое выражение находится в знаменателе дроби рядом с тригонометрическим числителем. Типичная конструкция выглядит так:

$$\frac{f(x)}{\log_a g(x)}=0,$$

где $f(x)$ — тригонометрическое выражение (иногда тоже содержащее логарифм), а $g(x)$ — синус или косинус от $x$.

Особенность таких уравнений в том, что просто решить $f(x)=0$ недостаточно. Логарифм накладывает жёсткие ограничения на область допустимых значений, и часть корней, полученных из числителя, придётся отбросить, потому что при них знаменатель не определён или равен нулю. Именно связка «тригонометрия + ОДЗ логарифма» и делает это задание содержательным: здесь проверяется не техника решения уравнений по отдельности, а умение аккуратно совмещать два раздела алгебры.

Вторая часть задания (пункт б) почти всегда требует отобрать корни, принадлежащие заданному отрезку — обычно достаточно длинному, захватывающему несколько периодов. Это тренирует работу с числовой окружностью и умение решать двойные неравенства относительно целочисленного параметра.

Что нужно знать

Для уверенного решения этой подтемы нужен компактный, но точный набор фактов.

1. Условие равенства дроби нулю. Дробь $\dfrac{f(x)}{h(x)}$ равна нулю тогда и только тогда, когда

$$f(x)=0 \quad \text{и} \quad h(x)\ne 0.$$

Это ключевое правило: сначала решаем уравнение в числителе, а затем проверяем каждый найденный корень на условие ненулевого знаменателя.

2. ОДЗ логарифма. Выражение $\log_a b$ определено при

$$a>0,\quad a\ne 1,\quad b>0.$$

Если логарифм стоит в знаменателе дроби, дополнительно требуется $\log_a b \ne 0$, то есть $b\ne 1$.

Если логарифм встречается внутри числителя (как множитель), для него нужно только условие $b>0$ (аргумент положителен), а равенство логарифма нулю — это допустимый способ обратить числитель в ноль.

3. Основные тригонометрические тождества и уравнения, которые чаще всего используются:

• $\sin^2x+\cos^2x=1$;
• простейшее уравнение $\operatorname{tg}x=a \Rightarrow x=\operatorname{arctg}a+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$;
• уравнение $\sin x=a$ (при $|a|\le 1$) $\Rightarrow x=(-1)^n\arcsin a+\pi n$;
• формула понижения степени или связь $2\sin^2x=1-\cos2x$ — полезна, когда под логарифмом стоит выражение вида $2\sin^2x$.

4. Знаки синуса и косинуса на числовой окружности. Для отбора корней по ОДЗ важно быстро определять знак $\cos x$ или $\sin x$ в конкретной точке — без этого нельзя понять, какие серии корней «выживают».

5. Техника отбора корней на отрезке. Если общее решение имеет вид $x=x_0+T n$, то для отбора корней на отрезке $[a;b]$ составляется двойное неравенство

$$a\le x_0+Tn\le b,$$

из которого выражается $n$ и берутся целые значения.

Больше из «внешней» теории для этой подтемы не требуется — упор именно на аккуратное совмещение тригонометрии и логарифмической ОДЗ.

Как решать: метод и алгоритм

Алгоритм решения уравнений данного типа всегда одинаков.

Шаг 1. Найти ОДЗ. Выписать все условия: аргументы логарифмов (и в числителе, и в знаменателе) строго положительны; основание логарифма в знаменателе, если оно тоже дробь или переменная, не равно единице; логарифм в знаменателе не равен нулю (то есть его аргумент не равен единице).

Шаг 2. Приравнять числитель к нулю. Если числитель — произведение множителей (например, тригонометрическое выражение, умноженное на логарифм), уравнение распадается на совокупность: каждый множитель отдельно приравнивается к нулю.

Шаг 3. Решить каждое из полученных простых уравнений, используя стандартные формулы тригонометрии.

Шаг 4. Проверить каждую серию корней на соответствие ОДЗ. Здесь важно не просто подставить конкретное число, а понять, для каких значений параметра (например, чётных или нечётных $n$) знак $\cos x$ или $\sin x$ удовлетворяет условиям. Часто оказывается, что одна из серий корней целиком отбрасывается, а другая распадается на две подсерии, одна из которых подходит, а другая — нет.

Шаг 5. Записать итоговый ответ для пункта а) — обычно это одна серия корней, прошедшая проверку.

Шаг 6. Для пункта б) отобрать корни на заданном отрезке, решив двойное неравенство относительно целочисленного параметра.

Главная опасность этого алгоритма — пропустить шаг 4 или выполнить его небрежно. Уравнение $f(x)=0$ почти всегда имеет больше корней, чем допускает ОДЗ, и именно фильтрация по ОДЗ — центральная часть решения.

Разбор примера

Пример 1.

Условие: решить уравнение

$$\frac{(\operatorname{tg}x+\sqrt3)\log_{13}(2\sin^2x)}{\log_{31}(\sqrt2\cos x)}=0,$$

а затем найти корни на отрезке $\left[\dfrac{3\pi}{2};\dfrac{5\pi}{2}\right]$.

Шаг 1. ОДЗ.

Аргумент логарифма в числителе: $2\sin^2x>0 \Rightarrow \sin x\ne 0$.

Аргумент логарифма в знаменателе: $\sqrt2\cos x>0 \Rightarrow \cos x>0$.

Знаменатель не должен быть равен нулю: $\log_{31}(\sqrt2\cos x)\ne 0 \Rightarrow \sqrt2\cos x\ne 1 \Rightarrow \cos x\ne \dfrac{1}{\sqrt2}$.

Также для $\operatorname{tg}x$ нужно $\cos x\ne 0$ — это уже покрыто условием $\cos x>0$.

Итоговое ОДЗ: $\cos x>0$, $\cos x\ne \dfrac{1}{\sqrt2}$, $\sin x\ne 0$.

Шаг 2–3. Числитель равен нулю.

Уравнение распадается на два:

1. $\operatorname{tg}x+\sqrt3=0 \Rightarrow \operatorname{tg}x=-\sqrt3 \Rightarrow x=-\dfrac{\pi}{3}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$;

2. $\log_{13}(2\sin^2x)=0 \Rightarrow 2\sin^2x=1 \Rightarrow \sin^2x=\dfrac12 \Rightarrow \cos2x=0 \Rightarrow x=\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb{Z}$.

Шаг 4. Проверка по ОДЗ.

Для второй серии значения $x$ принимают вид $\dfrac{\pi}{4},\ \dfrac{3\pi}{4},\ \dfrac{5\pi}{4},\ \dfrac{7\pi}{4}$ (с точностью до полного периода $2\pi$). В точках $\dfrac{\pi}{4}$ и $-\dfrac{\pi}{4}$ (то есть $\dfrac{7\pi}{4}$) косинус равен $\dfrac{1}{\sqrt2}$ — это запрещённое значение по ОДЗ. В точках $\dfrac{3\pi}{4}$ и $\dfrac{5\pi}{4}$ косинус отрицателен, что нарушает условие $\cos x>0$. Таким образом, вся вторая серия отбрасывается целиком.

Для первой серии $x=-\dfrac{\pi}{3}+\pi n$ рассмотрим два случая по чётности $n$.

Если $n=2m$ (чётное): $x=-\dfrac{\pi}{3}+2\pi m$, тогда $\cos x=\cos\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac12>0$ — подходит; $\dfrac12\ne\dfrac{1}{\sqrt2}$ — подходит; $\sin x=-\dfrac{\sqrt3}{2}\ne0$ — подходит.

Если $n=2m+1$ (нечётное): $x=\dfrac{2\pi}{3}+2\pi m$, тогда $\cos x=-\dfrac12<0$ — не удовлетворяет ОДЗ.

Значит, из первой серии остаются только чётные $n$, то есть:

$$x=-\frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

Это и есть ответ пункта а).

Шаг 6. Отбор на отрезке $\left[\dfrac{3\pi}{2};\dfrac{5\pi}{2}\right]$.

Подставим $x=-\dfrac{\pi}{3}+2\pi n$ в неравенство:

$$\frac{3\pi}{2}\le -\frac{\pi}{3}+2\pi n\le \frac{5\pi}{2}.$$

При $n=1$: $x=-\dfrac{\pi}{3}+2\pi=\dfrac{5\pi}{3}\approx5{,}24$. Отрезок примерно $[4{,}71;\,7{,}85]$ — значение попадает. При $n=0$ получаем отрицательное число, вне отрезка; при $n=2$ значение больше $5\pi/2$. Единственный подходящий корень:

$$x=\frac{5\pi}{3}.$$

Пример 2.

Условие: решить уравнение

$$\frac{2\sin^2x-\sin x}{\log_7(\cos x)}=0,$$

а затем найти корни на отрезке $\left[-5\pi;-\dfrac{7\pi}{2}\right]$.

Шаг 1. ОДЗ.

Аргумент логарифма: $\cos x>0$. Знаменатель не равен нулю: $\log_7(\cos x)\ne0 \Rightarrow \cos x\ne1$.

Шаг 2–3. Числитель равен нулю.

$$2\sin^2x-\sin x=0 \Rightarrow \sin x(2\sin x-1)=0.$$

Отсюда $\sin x=0$ или $\sin x=\dfrac12$.

При $\sin x=0$: $x=\pi k$, $\cos x=\pm1$. Оба значения запрещены: $\cos x=1$ нарушает условие "знаменатель не равен нулю", $\cos x=-1$ нарушает условие $\cos x>0$. Эта серия отбрасывается полностью.

При $\sin x=\dfrac12$: $x=\dfrac{\pi}{6}+2\pi n$ или $x=\dfrac{5\pi}{6}+2\pi n$.

Шаг 4. Проверка. Для $x=\dfrac{\pi}{6}+2\pi n$: $\cos x=\dfrac{\sqrt3}{2}>0$ и $\ne1$ — подходит. Для $x=\dfrac{5\pi}{6}+2\pi n$: $\cos x=-\dfrac{\sqrt3}{2}<0$ — не подходит.

Ответ пункта а):

$$x=\frac{\pi}{6}+2\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}.$$

Шаг 6. Отбор на отрезке $\left[-5\pi;-\dfrac{7\pi}{2}\right]$.

Решаем неравенство:

$$-5\pi\le \frac{\pi}{6}+2\pi k\le -\frac{7\pi}{2}.$$

Вычитая $\dfrac{\pi}{6}$ и деля на $2\pi$, получаем диапазон для $k$ примерно от $-2{,}58$ до $-1{,}83$. Единственное целое значение — $k=-2$. Тогда

$$x=\frac{\pi}{6}-4\pi=-\frac{23\pi}{6}.$$

Проверка: $-\dfrac{23\pi}{6}\approx-12{,}04$, что действительно лежит между $-5\pi\approx-15{,}71$ и $-\dfrac{7\pi}{2}\approx-11{,}00$.

Типичные ошибки

Игнорирование ОДЗ логарифма. Самая частая ошибка — решить $f(x)=0$ и сразу записать это как ответ, забыв, что часть корней делает знаменатель неопределённым или равным нулю.

Забытое условие «знаменатель не равен нулю». Помимо положительности аргумента логарифма в знаменателе, нужно отдельно исключить те точки, где сам логарифм равен нулю (аргумент равен единице). Эту деталь часто упускают, проверяя только знак аргумента.

Неполная проверка серии корней. Если серия корней имеет вид $x=x_0+\dfrac{\pi n}{2}$ или похожий, нельзя проверять ОДЗ только для одного конкретного значения — нужно рассмотреть все различные точки внутри периода (обычно 2–4 точки) и определить, какие из них подходят, а какие нет.

Ошибки при разбиении по чётности параметра. Когда после проверки ОДЗ серия распадается (например, только чётные $n$ подходят), важно аккуратно переобозначить параметр, чтобы в ответе не осталось лишних или потерянных значений.

Арифметические ошибки при отборе на отрезке. Неправильный перевод отрезка в дроби с общим знаменателем, ошибки в делении на $2\pi$ — частая причина неверного финального ответа, даже если серия корней найдена верно.

Потеря корней при сокращении общих множителей. Если в числителе и знаменателе случайно встречается одинаковый множитель, нельзя сокращать его без учёта ОДЗ — это может привести к потере ограничения.

На что обратить внимание на экзамене

При решении подобных уравнений полезно придерживаться чёткого порядка записи: сначала полностью выписать ОДЗ отдельным блоком, затем решить уравнение числителя, и только потом сопоставить решения с ОДЗ. Такой порядок снижает риск забыть какое-то условие под давлением времени.

При проверке серии корней на ОДЗ эффективнее всего работать через числовую окружность: отметить на ней все точки серии в пределах одного полного оборота и визуально определить знаки синуса и косинуса, а не подставлять числа наугад.

В пункте б) отрезки обычно достаточно длинные и захватывают несколько периодов — не стоит пытаться перебирать точки на окружности вручную, лучше сразу решать двойное неравенство относительно целого параметра. При этом стоит проверить получившийся корень подстановкой приближённых десятичных значений границ отрезка, чтобы исключить арифметическую ошибку.

Если уравнение сводится к квадратному относительно $\sin x$ или $\cos x$, полезно сразу проверить, не появляется ли посторонний корень (например, $\sin x=2$), это экономит время.

Наконец, ответ обязательно нужно записывать в стандартной форме с указанием $n\in\mathbb{Z}$ и не путать серии, полученные из разных множителей числителя — иногда правильный ответ является объединением двух серий, а иногда, как в разобранных примерах, одна из серий полностью отсеивается ОДЗ.