ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 13Тригонометрия и логарифмы

Задание 13 ЕГЭ, математика (профиль): Тригонометрия и логарифмы

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 13Логарифмические уравненияПоказательные уравнения

а)  Решите уравнение логарифм по основанию 4 левая круглая скобка {2 в степени левая круглая скобка 2x правая круглая скобка минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента косинус x минус синус 2x правая круглая скобка = x.

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку левая квадратная скобка Пи ; дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .

В подтеме 42 задач
Разбор
Главная идея: Свести логарифмическое уравнение к алгебраическому через определение логарифма, заметив, что 4x=22x4^x=2^{2x}, после чего разложить тригонометрическое уравнение на множители с помощью формулы синуса двойного угла.

  1. По определению логарифма запись log⁡4(A)=x\log_4(A)=x равносильна равенству A=4xA=4^x при условии A>0A>0. Так как 4x4^x всегда положительно, условие области определения выполняется автоматически, и уравнение равносильно 22x−3cos⁡x−sin⁡2x=4x.2^{2x}-\sqrt3\cos x-\sin2x=4^x.

  2. Замечаем, что 4x=(22)x=22x4^x=(2^2)^x=2^{2x}, поэтому слагаемые 22x2^{2x} в обеих частях сокращаются: −3cos⁡x−sin⁡2x=0 ⟹ sin⁡2x+3cos⁡x=0.-\sqrt3\cos x-\sin2x=0\ \Longrightarrow\ \sin2x+\sqrt3\cos x=0.

  3. Используем формулу двойного угла sin⁡2x=2sin⁡xcos⁡x\sin2x=2\sin x\cos x: 2sin⁡xcos⁡x+3cos⁡x=0 ⟹ cos⁡x (2sin⁡x+3)=0.2\sin x\cos x+\sqrt3\cos x=0\ \Longrightarrow\ \cos x\,(2\sin x+\sqrt3)=0.

  4. Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю, отсюда получаем совокупность: cos⁡x=0илиsin⁡x=−32.\cos x=0 \quad\text{или}\quad \sin x=-\dfrac{\sqrt3}{2}.

  5. Решаем каждое уравнение по стандартным формулам: cos⁡x=0 ⇒ x=π2+πk;\cos x=0\ \Rightarrow\ x=\dfrac{\pi}{2}+\pi k; sin⁡x=−32 ⇒ x=−π3+2πk или x=−2π3+2πk, k∈Z.\sin x=-\dfrac{\sqrt3}{2}\ \Rightarrow\ x=-\dfrac{\pi}{3}+2\pi k\ \text{или}\ x=-\dfrac{2\pi}{3}+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z}. Это и есть все корни исходного уравнения (пункт а).

  6. Для пункта б) отбираем корни, попадающие в отрезок [π; 7π/2][\pi;\,7\pi/2], подставляя разные целые kk в каждую серию и проверяя попадание в промежуток (удобно представить это на тригонометрической окружности, делая несколько оборотов). В результате в заданный отрезок попадают значения: 4π3, 3π2, 5π3, 5π2, 10π3, 7π2.\dfrac{4\pi}{3},\ \dfrac{3\pi}{2},\ \dfrac{5\pi}{3},\ \dfrac{5\pi}{2},\ \dfrac{10\pi}{3},\ \dfrac{7\pi}{2}.

Типичные ошибки

  • Не учитывают, что 4x=22x4^x=2^{2x}, и не сокращают степени, усложняя уравнение.
  • Забывают проверить область определения логарифма (хотя она выполняется автоматически, это нужно обосновать).
  • При отборе корней на отрезке ошибаются в переборе значений kk для трёх разных серий решений.
Непонятно?

Похожие задачи